БИБЕРБАХА-ЭЙЛЕНБЕРГА ФУНКЦИИ

Расстановка ударений: БИБЕРБА`ХА-Э`ЙЛЕНБЕРГА ФУ`НКЦИИ

БИБЕРБАХА-ЭЙЛЕНБЕРГА ФУНКЦИИ в круге |z| < 1 - класс R функций f(z), регулярных в круге |z| < 1, имеющих в нем разложение вида

f(z) = c₁ z + c₂ z² + ... + f_n zⁿ + ... (1)

и удовлетворяющих условию

f(z₁) f(z₂) ≠ 1, |z₁ | < 1, |z₂ | < 1.

Этот класс функций является естественным расширением класса В функций f(z), регулярных в круге |z| < 1, имеющих разложение (1) и таких, что |f(z)| < 1 в круге |z| < 1. Класс однолистных функций из R обозначают R̃. Функции класса R были названы по имени Л. Бибербаха [1], показавшего, что для f(z) ∈ R̃ имеет место неравенство

|c₁ | ≤ 1, (2)

причем равенство в (2) достигается только для функции f(z) = e^iθ z, где θ действительное, и С. Эйленберга [2], установившего справедливость неравенства (2) во всем классе R. В. Рогозинский [3] показал, что каждая функция класса R подчинена (см. Подчинения принцип) нек-рой функции из класса R̃. Из (2) для f(z) ∈ R получается точное неравенство

(3)

В классе R получена следующая оценка модуля функции: если f(z) ∈ R, то

|f(z)| ≤ r(1 - r²)^{- 1/2}, |z| = r, 0 < r < 1, (4)

и равенство в (4) реализуется только функциями ±f(ze^iθ ; r), где θ действительное, а

Экстремальных метрик методом была решена задача о максимуме и минимуме |f(z)| в классе R̃ (c) функций из R̃ с фиксированным значением |c₁ | = с, 0 < с ≤ 1, в разложении (1): для f(z) ∈ R(c), 0 < с < 1, справедливы точные неравенства

Im Н (ir; r, с) ≤ |f (re^iθ)| ≤ Im F (ir; r, с), (5)

где функции w = H(z; r, с) и w = F(z; r, с) отображают круг |z| < 1 на области, симметричные относительно мнимой оси плоскости w, границы к-рых принадлежат объединению замыканий нек-рых траекторий или ортогональных траекторий квадратичного дифференциала на плоскости w, в расположении нулей и полюсов к-рого имеется определенная симметрия (см. [4], [5]). Нек-рые окончательные результаты для функций класса R̃ (с) были получены одновременным использованием метода экстремальных метрик и метода симметризации (см. [4]).

Большое число результатов для функций классов R̃ и R является следствием соответствующих результатов для систем функций, отображающих круг |z| < 1 на взаимно неналегающие области (см. [6]). Аналогом класса R для конечно связной области G, не имеющей изолированных граничных точек и не содержащей точки z = ∞, является класс R_a (G), a ∈ G, функций f(z), регулярных в G и удовлетворяющих условиям f(а) = 0, f(z₁)f(z₂) ≠ 1, где z₁, z₂ - любые точки области G. Класс R_a (G) расширяет класс B_a (G) функций f(z), регулярных в G и таких, что f(а) = 0, |f(z)| < 1 в области G. Распространением результата Бибербаха-Эйленберга и неравенства (3) на функции класса R_a (G) является следующая точная оценка: если f(z) ∈ R_a (G), то

|f'(z)| ≤ |1 - f² (z)| F'(z, z), z ∈ G,

где F(z, b), b ∈ G, - та из функций класса B_b (G), для к-рой F'(b, b) = max|f'(b)| в этом классе.

Лит. : [1] Bieberbach L., «Math. Ann. », 1916, Bd 77 S. 153-72; [2] Eilenberg S., «Fundam. math. », 1935 v. 25, p. 267-72; [3] Rogosinski W., «J. London Math. Soc. », 1939, v. 14, № 1, p. 4-11; [4] Джeнкинс Дж., Однолистные функции и конформные отображения, пер. с англ М., 1962; [5] Jenkins J. A., «Trans. Amer. Math. Soc. » 1965, v. 119, № 2, p. 195-215; [6] Лебедев H. А., Принцип площадей в теории однолистных функций, М., 1975.

Г. В. Кузьмина.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.