НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

БЕСКОНЕЧНОСТЬ

Расстановка ударений: БЕСКОНЕ`ЧНОСТЬ

БЕСКОНЕЧНОСТЬ - понятие, возникающее в различных разделах математики в основном как противопоставление понятию конечного. Понятие Б. используется в аналитич. и геометрич. теориях для обозначения «несобственных» или «бесконечно удаленных» элементов, в теории множеств и математич. логике при изучении «бесконечных множеств» и в др. разделах математики.

1) Представление о бесконечно малых и бесконечно больших переменных величинах является одним из основных в математич. анализе. Предшествовавшая современному подходу к понятию бесконечно малой концепция, по к-рой конечные величины составлялись из бесконечно большого числа бесконечно малых «неделимых» (см. «Неделимых» метод), трактовавшихся не как переменные, а как постоянные и меньшие любой конечной величины, может служить одним из примеров незаконного отрыва бесконечного от конечного: реальный смысл имеет только разложение конечных величин на неограниченно возрастающее число неограниченно убывающих слагаемых.

2) Совсем в другой логич. обстановке Б. появляется в математике в виде «несобственных» бесконечно удаленных геометрия, образов (см. Бесконечно удаленные элементы). Здесь, напр., бесконечно удаленная тояка на прямой а рассматривается как особый постоянный объект, «присоединенный» к обычным конечным точкам. Однако неразрывная связь бесконечного с конечным обнаруживается и здесь, хотя бы при проектировании из центра, лежащего вне прямой, при к-ром бесконечно удаленной точке оказывается соответствующей прямая, проходящая через центр проектирования и параллельная основной прямой а.

Аналогичный характер имеет пополнение системы действительных чисел двумя «несобственными» числами + ∞ и - ∞, соответствующее многим запросам анализа и теории функций действительного переменного. Можно подойти с такой же точки зрения и к пополнению ряда натуральных чисел 1, 2, 3, ..., трансфинитными числами ω, ω + 1, ..., 2ω, 2ω + 1,.... В связи с различием между переменными бесконечно малыми и бесконечно большими величинами, с одной стороны, и «несобственными» бесконечно большими числами, рассматриваемыми как постоянные, - с другой, возникли термины «потенциальная» Б. (для первых) и «актуальная» Б. (для вторых). В этом первоначальном понимании (о другом, современном понимании, см. ниже) спор между сторонниками потенциальной и актуальной Б. можно считать законченным. Бесконечно малые и бесконечно большие, лежащие в основе определения производной (как отношения бесконечно малых) и интеграла(как суммы бесконечно большого числа бесконечно малых) и примыкающих сюда концепций математич. анализа, должны восприниматься как «потенциальные». Наряду с этим в надлежащей логич. обстановке в математику вполне закономерно входят и «актуальные» бесконечно большие «несобственные» числа (и даже во многих различных аспектах: как количественные и порядковые трансфинитные числа в теории множеств, как несобственные элементы + ∞ и - ∞ системы действительных чисел и т. д.).

В математике приходится иметь дело с двумя способами присоединения к числовой системе бесконечных «несобственных» элементов.

а) С проективной точки зрения на прямой находится одна «бесконечно удаленная точка». В обычной метрич. системе координат этой точке естественно приписать абсциссу ∞. Такое же присоединение к числовой системе одной Б. без знака употребляется в теории функций комплексного переменного. В элементарном анализе при изуяении рациональных функций f(x) = Р (х) / Q(x), где Р(х) и Q(х) - многочлены, в тех точках, где Q(х) имеет - нуль более высокого порядка, чем Р(х), естественно положить f(x) = ∞.

Для несобственного элемента ∞ устанавливаются такие правила действий:

∞ + а = ∞, если а конечно;

∞ + ∞ не имеет смысла;

∞ ⋅ а = ∞, если а ≠ 0;

∞ ⋅ 0 не имеет смысла.

Неравенства с участием ∞ не рассматриваются: бессмысленно спрашивать, больше или меньше ∞, чем конечное а.

б) При изучении действительных функций действительного переменного систему действительных чисел дополняют двумя несобственными элементами + ∞ и - ∞. Тогда можно положить, что - ∞ < а < + ∞ для любого конечного а, и сохранить основные свойства неравенств в расширенной числовой системе. Для + ∞ и - ∞ устанавливаются такие правила действий:

( + ∞) + а = + ∞, если а ≠ - ∞ ;

(- ∞) + а = - ∞, если а ≠ + ∞ ;

( + ∞) + (- ∞) лишено смысла;

( + ∞) ⋅ а = + ∞, если а > 0;

( + ∞) ⋅ а = - ∞, если а < 0;

(- ∞) ⋅ а = - ∞, если а > 0;

(- ∞) ⋅ а = + ∞, если а < 0;

( + ∞) ⋅ 0 и (- ∞) ⋅ 0 лишены смысла.

3) Основной интерес, но и основные трудности математич. учения о Б. сосредоточиваются на вопросе о природе бесконечных множеств математич. объектов. Следует, в частности, иметь в виду, что достигнутая ныне полная отвлеченность и законченность теории бесконечно больших и бесконечно малых переменных величин заключается лишь в сведении всех трудностей этой теории к вопросу обоснования учения о числе, в к-рое существенно входит представление о Б. системы чисел. Утверждение о том, что у бесконечно мало, имеет смысл только при указании характера изменения у в зависимости от к.-л. другого переменного х; напр., говорят, что у бесконечно мало при х → а, если при любом ε > 0 существует такое δ > 0, что из |х - а| < δ вытекает |y| < ε. В самое это определение уже входит предположение, что функция y = f(x) определена для бесконечного множества значений х (напр., для всех действительных х, достаточно близких к а).

В теории множеств терминам «актуальная» и «потенциальная» Б. придают обычно глубокий смысл, не имеющий ничего общего с наименованием каждой бесконечной мощности «актуально бесконечным числом». Дело в том, что бесконечные системы математич. объектов (напр., натуральных или действительных чисел) никогда не задаются простым перечислением, как это возможно для конечных систем объектов. Было бы очевидным абсурдом предполагать, что кто-либо «образовал» множество натуральных чисел, перечислив их фактически «все» одно за другим. На самом деле множество натуральных чисел изучают, исходя из процесса образования его элементов переходом от n к n + 1. В случае континуума действительных чисел уже рассмотрение одного его элемента - действительного числа - приводит к изучению процесса образования его последовательных приближенных значений, а рассмотрение всего множества действительных чисел приводит к изучению общих свойств такого рода процессов образования его элементов. В этом именно смысле сама Б. натурального ряда, или системы всех действительных чисел (континуума), может характеризоваться как Б. лишь «потенциальная». Точке зрения потенциальной Б. противополагается взгляд на бесконечные множества как «актуально» заданные, независимо от процесса их образования. Выяснение вопроса о том, в какой мере и при каких условиях при изуяении бесконечных множеств законно такое абстрагирование от процесса их образования, еще нельзя считать законченным. См. также Абстракция актуальной бесконечности, Абстракция потенциальной осуществимости.

А. Н. Колмогоров.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru