БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

Расстановка ударений: БЕСКОНЕЧНОМЕ`РНОЕ ПРОСТРА`НСТВО

БЕСКОНЕЧНОМЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО - нормальное T₁ - пространство X (см. Нормальное пространство) такое, что ни для какого n = - 1, 0, 1,... не выполняется неравенство dim X ≤ n, т. е. Х ≠ ∅, и для любого n = 0, 1, 2,... найдется такое конечное открытое покрытие ω_n пространства X, что любое вписанное в ω_n конечное открытое покрытие этого пространства будет иметь кратность > n + 1. Примерами Б. п. могут служить гильбертов кирпич I^∞ и тихоновский куб I^τ . Большинство встречающихся в функциональном анализе пространств также бесконечномерно.

Нормальное T₁ - пространство X наз. бесконечномерным в смысле большой (соответственно, малой) индуктивной размерности, если неравенство Ind X ≤ n (соответственно ind X ≤ n) не выполняется ни для какого n = - 1, 0, 1,.... Если А есть Б. п., то оно бесконечномерно в смысле большой индуктивной размерности. Если, кроме того, X есть бикомпакт, то он бесконечномерен также и в смысле малой индуктивной размерности. Бесконечномерность метрич. пространства равносильна его бесконечномерности в смысле большой индуктивной размерности. Существуют конечномерные бикомпакты, бесконечномерные в смысле малой (следовательно и большой) индуктивной размерности. Существует ли конечномерный в смысле малой индуктивной размерности и бесконечномерный в смысле большой индуктивной размерности бикомпакт (так же как и метрич. пространство), - неизвестно (1977).

Одним из наиболее естественных подходов к изучению Б. п. является введение малой трансфинитной размерности ind X и большой трансфннитной размерности Ind X. Этот подход заключается в распространении определений малой и большой индуктивных размерностей на бесконечные порядковые числа. Не для всякого Б. п. А определены трансфинитные размерности ind X и Ind X. Напр., обе эти размерности не определены для гильбертова кирпича. Для пространства ∪ Iⁿ, распадающегося в дискретную сумму n-мерных кубов n = 0, 1, 2, ..., малая трансфинитная размерность не определена.

Если для нормального пространства X определена трансфиннтная размерность ind X (соответственно Ind X), то она равна порядковому числу, мощность к-рого не превосходит веса wX (соответственно большого веса WX) пространства X. В частности, если пространство X обладает счетной базой, то ind X < ω₁, а если X - компакт, то и Ind X < ω₁ . Для метрич. пространств также Ind X < ω₁ . Если α < ω₁ то существуют компакты S_α и L_α, для к-рых Ind S_α = α, ind L_α = α.

Если трансфинитная размерность Ind X определена, то определена трансфинитная размерность ind X и ind X ≤ Ind X. Построены компакты, для к-рых трансфинитная размерность Ind X определена и ω₀ < ind X < Ind X.

Из определенности трансфинитной размерности ind X (соответственно Ind X) пространства X вытекает определенность трансфинитной размерности ind X (соответственно Ind A) для любого (соответственно любого замкнутого) множества A ⊆ X и выполняется неравенство ind A ≤ ind X (соответственно Ind A ≤ Ind X).

Для максимального бикомпактного расширения β X нормального пространства X выполняется равенство Ind β X = Ind X. Нормальное пространство X веса τ и трансфинитной размерности Ind X ≤ α обладает бикомпактным расширением bХ веса τ и размерности Ind bX ≤ α. Существует пространство L со счетной базой и размерности ind L = ω₀, у к-рого никакое бикомпактное со счетной базой расширение bХ не имеет размерности ind bX = ω₀ . Метризуемое пространство R трансфинитной размерности Ind R = α обладает метрикой, пополнение cR по которой имеет размерность Ind cR = α. Метризуемое со счетной базой пространство R трансфинитной размерности ind R = α обладает метрикой, пополнение cR по которой имеет размерность ind cR = α.

Класс пространств, для к-рых определена большая или малая трансфинитная размерность, тесно связан с классом счетномерных пространств: если полное метрич. пространство счетномерно, то для него определена малая трансфинитная размерность; если для пространства со счетной базой определена малая трансфинитная размерность, то оно счетномерно; если для метрич. пространства определена большая трансфинитная размерность (в частности, если оно конечномерно), то оно счетномерно; для счетномерного компакта определена большая трансфинитная размерность. Пространство ∪ Iⁿ счетномерно и бесконечномерно. Гильбертов кирпич не счетномерен.

Счетномерность метрич. пространства R эквивалентна любому из следующих свойств: а) существует конечнократное (но, вообще говоря, не k-кратное ни для какого k = 1, 2,...) непрерывное замкнутое отображение нульмерного метрич. пространства на пространство R; б) существует счетнократное непрерывное замкнутое отображение нульмерного метрич. пространства на пространство R.

Теоремы о представимости n-мерного метрич. пространства в виде суммы n + 1 нульмерных слагаемых и в виде образа нульмерного метрич. пространства при непрерывном замкнутом и (n + 1)-кратном отображении указывают на естественность рассмотрения класса счетномерных (метрических) пространств и на его близость к классу конечномерных пространств. Как и в конечномерном случае, в классе счетномерных метрич. пространств веса ≤ τ существует универсальное в смысле гомеоморфного вложения пространство.

Если нормальное пространство представлено в виде конечной или счетной суммы своих счетномерных подпространств, то оно счетномерно. Подпространство счетномерного совершенно нормального пространства счетномерно.

Взаимоотношения между счетномерными и не счетномерными пространствами описывает следующее утверждение: если отображение f: R → S метрич. пространств R и S непрерывно и замкнуто, пространство R счетномерно, а пространство S не счетномерно, то множество {y ∈ S: |f^{- 1} y| ≥ c} также не счетномерно. Помимо счетномерных пространств, естественным расширением класса конечномерных пространств является класс слабо счетномерных пространств. Если рассматривать только метризуемые пространства, то слабо счетномерные пространства занимают промежуточное положение между конечномерными и счетномерными пространствами. При этом существуют счетномерные не слабо счетномерные компакты, а пространство ∪ Iⁿ слабо счетномерно и бесконечномерно. Замкнутое подпространство слабо счетномерного пространства слабо счетномерно. Нормальное пространство слабо счетномерно, если оно представимо в виде конечной или счетной суммы своих слабо счетномерных замкнутых подмножеств.

В классах нормальных слабо счетномерных и метрических слабо счетномерных пространств существуют универсальные в смысле гомеоморфного вложения пространства. В случае пространств со счетной базой таким пространством будет подпространство I^ω гильбертова кирпича, состоящее из всех тех точек, лишь конечное число координат к-рых отлично от нуля. Пространство I^ω не имеет слабо счетномерных бикомпактных расширений.

Все рассмотренные выше классы Б. п. «не очень бесконечномерны», если их сравнивать, напр., с гильбертовым кирпичом. Задача отделения «не очень бесконечномерных» пространств от «очень бесконечномерных» была решена П. С. Александровым и Ю. М. Смирновым посредством введения классов A- и S-слабо бесконечномерных и A- и S-сильно бесконечномерных нормальных пространств. Любое конечномерное пространство S- слабо бесконечномерно, а любое S- слабо Б. п. также A- слабо бесконечномерно. Пространство ∪ Iⁿ является A- слабо бесконечномерным, но S- сильно бесконечномерным.

В случае бикомпактов определения A- и S- слабой (сильной) бесконечномерности эквивалентны, поэтому A- слабо (сильно) бесконечномерные бикомпакты наз. просто слабо (сильно) бесконечномерными. Гильбертов кирпич сильно бесконечномерен. Существуют бесконечномерные и слабо бесконечномерные компакты.

Замкнутое подпространство A- (S-) слабо Б. п. является A- (S-) слабо бесконечномерным. Нормальное пространство, являющееся суммой конечного числа своих замкнутых S- слабо бесконечномерных множеств, само S- слабо бесконечномерно. Паракомпакт, являющийся суммой конечной или счетной системы своих замкнутых A- слабо бесконечномерных множеств, сам A- слабо бесконечномерен. Наследственно нормальное пространство, являющееся суммой конечной или счетной системы своих A- слабо бесконечномерных множеств, само A- слабо бесконечномерно.

Слабо счетномерный паракомпакт является A- слабо бесконечномерным. Наследственно нормальное счетномерное пространство является A- слабо бесконечномерным. Любой ли слабо бесконечномерный компакт счетномерен - неизвестно (1977).

Изучение любых S - слабо бесконечномерных метризуемых пространств следующим образом сводится к компактному случаю: тогда и только тогда метризуемое пространство R является S- слабо бесконечномерным, когда его можно так представить в виде суммы слабо бесконечномерного компакта и конечномерных открытых множеств О_n, n = 1, 2, ..., что для любой дискретной последовательности точек

x ∈ R, i = 1, 2, ...,

существует (зависящее от последовательности) множество О_n, содержащее все точки х_i, начиная с нек-рой.

Другую возможность изучать бесконечномерные бикомпакты вместо любых S- слабо Б. п. дают следующие утверждения: максимальное бикомпактное расширение S- слабо Б. п. - слабо бесконечномерно; любое нормальное S- слабо бесконечномерное пространство веса τ обладает слабо бесконечномерным бикомпактным расширением веса τ. Все бикомпактные расширения A- слабо Б. п. I_ω сильно бесконечномерны.

Бикомпакт сильно бесконечномерен тогда и только тогда, когда имеется такое непрерывное отображение f: X → I^∞, что для любого множества

Iⁿ = {у = (y_i) ∈ I^∞ ; y_i = 0, i > n}

(гомеоморфного n-мерному кубу) ограничение отображения f на прообраз f^{- 1} Iⁿ является существенным отображением.

Существует бесконечномерный компакт, любое непустое замкнутое подпространство к-рого или нульмерно, или бесконечномерно. Более того, любой сильно бесконечномерный компакт содержит подкомпакт, любое непустое замкнутое подпространство к-рого или нульмерно, или сильно бесконечномерно. В любом сильно бесконечномерном бикомпакте содержится бесконечномерное канторово многообразие (в смысле П. С. Александрова).

Все сенарабельные банаховы пространства гомеоморфны между собой, A - сильно бесконечномерны и гомеоморфны произведению счетной системы прямых.

Лит. : [1] Александров П. С., Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности..., М., 1973.

Б. А. Пасынков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.