![]() |
БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ИЗГИБАНИЕРасстановка ударений: БЕСКОНЕ`ЧНО МА`ЛОЕ ИЗГИБА`НИЕ БЕСКОНЕЧНО МАЛОЕ ИЗГИБАНИЕ - понятие, первоначально возникшее при описании деформации поверхности F в трехмерном евклидовом пространстве, при к-рой изменение длин кривых на F является величиной порядка малости меньшего, чем изменение пространственного расстояния между точками этих кривых. По существу же в теории Б. м. и. исследуются векторные поля и связанные с ними величины, определенные в точках F и удовлетворяющие тем уравнениям к-рые являются линеаризацией уравнений изгибания F. Так, если x(u, v, t) - радиус-вектор деформации Ft поверхности F = F0, то Б. м. и. F характеризуется (начальной) скоростью деформации - вектором ![]() к-рый удовлетворяет уравнению (dxdz) = 0 или (xu zu) = (xv zv) = (xu zv) + (xv zu) = 0, (1) где x = x (u, v, 0) - радиус-вектор F. Вектор z, наз. также полем скоростей Б. м. и., или изгибающим полем. Однозначно определяется вектор у такой, что dz = [ydx] - множество точек пространства, описываемое радиус-вектором у, наз. диаграммой вращения Б. м. и. См. также Дарбу поверхности. В более общей ситуации Б. м. и. многообразия Mk, расположенного в римановом пространстве Vn, представляет собой изометрич. вариацию вложения i: Mk → Vn, т. е. такое векторное поле вдоль вложения Z ∈ τ (Vn) где τ (Vn) - касательное расслоение к Vn, к-рое удовлетворяет на Mk уравнению g(∇ X Z, Y) + g(X, ∇ Y Z) = 0; (1') здесь X, Y ∈ i*τ (Mk) - векторные поля, касательные к вложению, g(⋅, ⋅) - метрическая форма Vn, ∇ X - ковариантная произвольная относительно Леви-Чивита связности на Vn, соответствующей g. Поле Z однозначно определяет поле KZ кососимметрических тензоров типа (1, 1) вдоль вложения: KZ X = ∇ X Z, удовлетворяющее уравнению ∇ X KZ Y - ∇ Y KZ X + KZ [X, Y] = R(X, Y)Z, где R - оператор римановой кривизны Vn . Если Z индуцируется Киллинга вектором ξ ∈ τ (Vn), т. е. Z = ξ ⋅ i, то соответствующее Б. м. и. (а также и само Z) наз. тривиальным. Если Mk допускает только тривиальные Б. м. и., то оно наз. жестким. См. Жесткость. При геодезическом отображении F : Vn → Ṽn Б. м. и. Mk ⊂ Vn с вектором Z однозначно соответствует Б. м. и. F(Mk) ⊂ Ṽn с вектором z̃ = F(Z), причем g̃ (Z̃, F*(Y)) = ψ g (Z, Y), где ψ - потенциал отображения F. В частности, это соответствие имеет место при проективном преобразовании евклидова пространства (теорема Дарбу-3ауэра) и при геодезич. отображении евклидова пространства в пространство постоянной кривизны (преобразование Погорелова). Изометрич. вариациям высших порядков соответствуют Б. м. и. высших порядков: для них, в отличие от определенных выше Б. м. и. первого порядка, известны лишь отдельные результаты, в основном касающиеся поверхностей вращения. Теория Б. м. и. имеет многочисленные приложения в математике и механике, в частности она применяется в задачах изометрич. вложения методом продолжения по параметру, для исследования изометричных поверхностей пространств постоянной кривизны (см. Кон-Фоссена преобразование), в вопросах устойчивости оболочек и т. д. Лит. : [1] Ефимов Н. В., «Успехи матем. наук», 1948, т 3 в 2(24); [2] Погорелов А. В., Внешняя геометрия выпуклых поверхностей, М., 1969; [3] Бляшке В., Введение в дифференциальную геометрию, пер. с нем., М., 1957; [4] Векуа И. Н., Обобщенные аналитические функции, М., 1959. М. И. Войцеховский. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |