БЕРТРАНА ПАРАДОКС

Расстановка ударений: БЕ`РТРАНА ПАРАДО`КС

БЕРТРАНА ПАРАДОКС (в теории вероятностей) - один из парадоксов, связанных с нечеткой формулировкой исходных допущений при решении вероятностных задан. Отмечен Ж. Бертраном [1]. В задаче Бертрана разыскивается вероятность того, что длина хорды, «наудачу» выбранной в круге радиуса 1, превзойдет длину стороны вписанного правильного треугольника. Ж. Бертран указывает три различных значения искомой вероятности (1/2, 1/3, 1/4), в зависимости от того, какими параметрами характеризуется положение хорды (в первом случае - расстоянием ρ до центра круга и углом θ между нормалью к хорде и осью х; во втором - угловыми координатами α и β точек пересечения хорды с окружностью; в третьем - декартовыми координатами (х, у) основания перпендикуляра, опущенного из центра круга; во всех трех случаях центр круга расположен в начале координат). А. Пуанкаре [2] показал, что источник парадокса заключается в следующем: каждый раз соответствующую пару параметров предполагают равномерно распределенной в соответствующей области и таким образом решают три различные задачи. Если распределение к.-л. пары (скажем, α и β) фиксировано, то распределение любых других параметров однозначно вычисляется (и не обязано быть равномерным, даже если α и β распределены равномерно). Наиболее естественным (с геометрической тонки зрения) является предположение о том, что ρ и θ независимы и распределены равномерно в интервале 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π (см. [3]).

Лит.. : [1] Bertrand J., Calcul des probabilités, P., 1889; [2] Pоinсaré H., Calcul des probabilités, 2 éd., P., 1912; [3] Кендалл M., Моран П., Геометрические вероятности, пер. с англ., М., 1972.

А. В. Прохоров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.