БЕРТИНИ ТЕОРЕМЫ

Расстановка ударений: БЕРТИ`НИ ТЕОРЕ`МЫ

БЕРТИНИ ТЕОРЕМЫ - две теоремы о свойствах линейных систем на алгебраических многообразиях, принадлежащие Э. Бертини (см. [1]).

Пусть V - алгебраич. многообразие над алгебраически замкнутым полем k характеристики 0, L - линейная система без неподвижных компонент на V и W - образ многообразия V при отображении с помощью L. Следующие два утверждения известны как 1-я и 2-я Б. т.

1) Если dim W > 1, то почти все дивизоры из линейной системы L (т. е. все, кроме замкнутого подмножества в пространстве параметров Р(L), отличного от Р (L)) являются неприводимыми и приведенными алгебраич. многообразиями.

2) Почти все дивизоры из L не имеют особых точек вне базисных точек линейной системы L и особых точек многообразия V.

Обе Б. т. неверны, если характеристика поля не равна 0.

Условия, при к-рых Б. т. верны и для случая конечной характеристики поля, изучены в [3] и [6]. В случае dim W = 1 1-я Б. т. заменяется следующим утверждением: почти все слои отображения φ_L : V → W являются неприводимыми и приведенными, если поле функций k(W) алгебраически замкнуто внутри поля k(V) при вложении φ *_L : k(W) → k(V). В случае, когда характеристика поля k конечна, соответствующая теорема верна при условии сепарабельности расширения k(V)/k(W) (см. [3], [6]). Для линейной системы гиперплоских сечений Б. т. верны без всяких ограничений на характеристику поля [5].

Лит. : [1] Bertini Е., Introduzione alia geometria proiettiva degli iperspazi, 2 ed., Messina, 1923; [2] Алгебраические поверхности, M., 1965; [3] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [4] Akizuкi Y., «J. Math. Soc. Japan», 1951, v. 3, № 1, p. 170-80; [5] Nаkai Y., «Mem. Coll. Sci. Univ. Kyoto A», 1950, v. 26, № 2, p. 185-87; [6] Zariski O., «Trans. Amer. Math. Soc. », 1944, v. 56, № 1, p. 130-40.

В. А. Исковских.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.