НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

БЕРНШТЕЙНА ТЕОРЕМА

Расстановка ударений: БЕРНШТЕ`ЙНА ТЕОРЕ`МА

БЕРНШТЕЙНА ТЕОРЕМА о минимальных поверхностях: если минимальная поверхность задана уравнением z = f(x, у), где f имеет непрерывные частные производные 1-го и 2-го порядков при всех действительных х и у, то F - плоскость. Доказательство этой теоремы, предложенное самим С. Н. Бернштейном [1], является следствием одной его более общей теоремы о поведении поверхностей с неположительной кривизной. Предложены многочисленные обобщения Б. т., идущие гл. обр. в трех направлениях: 1) Количественные уточнения; напр., получение априорных оценок вида |K(0)| ≤ const/R2, где R - радиус круга, над к-рым определена минимальная поверхность z = f(x, у), К(0) - гауссова кривизна поверхности в центре круга. 2) Поиски других априорно задаваемых геометрич. условий, при удовлетворении к-рым минимальная поверхность необходима была бы какой-нибудь конкретной поверхностью: плоскостью, катеноидом и т. д. ; напр., если сферич. образ полной минимальной поверхности не содержит нек-рое открытое на сфере множество, то такая минимальная поверхность есть плоскость. 3) Перенесение Б. т. на минимальные поверхности Fk размерности k, расположенные в евклидовом пространстве Еn ; напр., если k = n - 1, то при n ≤ 8 всякая минимальная поверхность, однозначно определенная над всем En - 1, есть гиперплоскость, а при n > 8 существуют минимальные поверхности, отличные от плоскости; если же k < n - 1, то уже при n ≥ 4 можно найти нелинейные минимальные поверхности Fk, определенные над всем Еn - 1 .

Лит. : [1] Бернштейн С. Н., Собр. соч., т. 3, 1960, с. 251-58; [2] Ниче И. С. С. «Математика», 1967, т. 11, № 3, с. 37-100; [3] Оссерман Р., «Успехи матем. наук», 1967, т. 22, в. 4, с. 55-136; [4] его же, «Математика», 1971, т. 15, № 2, с. 104-25.

И. X. Сабитов.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.

Характер пантеры.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru