БЕРНШТЕЙНА НЕРАВЕНСТВО

Расстановка ударений: БЕРНШТЕ`ЙНА НЕРА`ВЕНСТВО

БЕРНШТЕЙНА НЕРАВЕНСТВО - 1) Б. н. в теории вероятностей - уточнение классического Чебышева неравенства, принадлежащее С. Н. Бернштейну (1911, см. [1]); позволяет заменить степенную оценку вероятности больших отклонений на экспоненциально убывающую, см. Больших отклонений вероятности. Именно, если для независимых случайных величин X₁, ..., X_n с

выполняется

(l > 2, Н - постоянная, не зависящая от j), то для суммы S_n = X₁ + ... + Х_n справедливо Б. н. (r > 0):

(1)

где B_n = Σ b_j . Для одинаково распределенных ограниченных случайных величин X_j (ЕХ_j = 0, ЕX_j² = σ² и |X_j | ≤ L, j = 1, 2, ..., n) неравенство (1) приобретает наиболее простой вид:

(2)

где a = Lt/√n σ. А. Н. Колмогоровым была получена нижняя оценка вероятности в (1). Оценки Бернштейна-Колмогорова используются, в частности, при доказательстве повторного логарифма закона. Нек-рое представление о точности (2) можно получить из сравнения с приближенным значением для левой части (2), даваемым центральной предельной теоремой в виде

где 0 < θ < 1. После 1967 одномерные Б. н. были распространены на многомерный и бесконечномерный случаи.

Лит. : [1] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М. - Л., 1946; [2] Колмогоров А. Н., «Math. Аnn. », 1929, Bd 101, S. 126-35; [3] Hoeffding W., «J. Amer. Statist. Assoc. », 1963, v. 58, № 301, p. 13-30; [4] Прохоров Ю. В., «Теория вероят. и ее примен. », 1968, т. 13, в. 2, с. 266-74; [5] Прохоров А. В., «Матем. заметки», 1968, т. 3, в. 6, с. 731-9; [6] Юринский В. В., «Теория вероят. и ее примен. », 1970, т. 15, в. 1, с. 106-7.

А. В. Прохоров.

2) Б. н. для производной от тригонометрич. полинома или алгебраич. многочлена, дающее оценку этой производной через наибольшее значение самого полинома (многочлена). Если Т_n (х) - тригонометрич. полином порядка не выше n,

то для любого х выполняются неравенства (см. [1]):

Оценка неулучшаема; ибо число М = 1 для

и

Б. н. для тригонометрия, полиномов является частным случаем следующей теоремы [1]: если f(x) - целая функция степени ≤ σ и

то

Б. н. для алгебраич. многочленов имеет следующий смысл [1]: если многочлен

удовлетворяет условию

то для его производной Р'_n (х) выполняется соотношение

к-рое является неулучшаемым. Как заметил сам С. Н. Бернштейн (см. [1], с. 20), последнее неравенство в сущности вытекает из доказательства Маркова неравенства самим А. А. Марковым.

Б. н. существенно используются при получении обратных теорем теории приближения функций. Имеется ряд обобщений Б. н., в частности для целых функций многих переменных.

Лит. : [1] Бернштейн С. Н., Собр. соч., т. 1, М., 1952, с. 13-42, 269-70; [2] Никольский С. М., Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, М., 1969.

Н. П. Корнейчук, В. П. Моторный.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.