НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА

Расстановка ударений: БЕРНУ`ЛЛИ ТЕОРЕ`МА

БЕРНУЛЛИ ТЕОРЕМА - исторически первая форма больших чисел закона. Б. т. приведена в четвертой части книги Я. Бернулли (J. Bernoulli) «Ars conjectandi» («Искусство предположений»). Эту часть можно считать первым серьезным трудом по теории вероятностей. Книга издана в 1713 Н. Бернулли (племянником Я. Бернулли). Б. т. относится к последовательности независимых испытаний (см. Бернулли испытания), в каждом из к-рых вероятность появления нек-рого события (успеха) равна р. Пусть n - число испытаний и m - случайная величина, равная числу успехов. Б. т. утверждает, что каковы бы ни были положительные числа ε и η при всех достаточно больших n (n ≥ n0) вероятность Р неравенства

будет больше 1 - η. Доказательство этой теоремы, данное Я. Бернулли (и основанное только на изучении характера убывания вероятностей в биномиальном распределении по мере удаления от наивероятнейшего значения), сопровождалось неравенством, позволяющим указать нек-рую границу для указанного n0 по данным ε и η. Напр., Я. Бернулли находит, что при р = 2/5 вероятность неравенства

будет больше 0, 999 при n ≥ 25 550. Несколько совершенствуя первоначальное рассуждение Я. Бернулли, можно установить, что n достаточно выбирать с условием

что дает, в свою очередь, для вероятности 1 - Р неравенства

оценку вида

Для приведенного выше примера получается условие n ≥ 17 665 (более сложные оценки показывают, что достаточно брать n ≥ 6 502; для сравнения заметим, что теорема Муавра-Лапласа в качестве приближенного значения n0 дает 6 498). Другие оценки для 1 - Р можно полунить, используя Бернштпейна неравенство и его аналоги (см. также Биномиальное распределение).

Лит. : [1] Бернулли Я., Часть четвертая сочинения Якова Бернулли «Ars conjectandi», СПБ, 1913; [2] Марков А. А., Исчисление вероятностей, 4 изд., М., 1924; [3] Бернштейн С. Н., Теория вероятностей, 4 изд., М. - Л., 1946.

Ю. В. Прохоров.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru