БЕРНУЛЛИ БЛУЖДАНИЕ

Расстановка ударений: БЕРНУ`ЛЛИ БЛУЖДА`НИЕ

БЕРНУЛЛИ БЛУЖДАНИЕ - случайное блуждание, порождаемое Бернулли испытаниями. На примере Б. б. можно пояснить нек-рые основные черты более общих случайных блужданий. В частности, уже в этой простейшей схеме проявляются свойства «случайности», парадоксальные с точки зрения интуиции.

Б. б. можно описать, напр., в следующих терминах. Частица движется по оси х («блуждает») по решетке точек вида kh (k - целое, h > 0). Движение начинается в момент t = 0, и положение частицы отмечается только в дискретные моменты времени 0, Δ t, 2Δ t, 3Δ t,.... На каждом шаге координата частица увеличивается или уменьшается на величину h с вероятностями р и q = 1 - р соответственно, независимо от предшествующего движения. Таким образом, перемещения в положительном и отрицательном направлениях («успехи» и «неудачи») описываются схемой испытаний Бернулли с вероятностью успеха, равной р. Обычно Б. б. изображают геометрически, беря ось t за ось абсцисс, а ось х - за ось ординат (см. рис. 1, где показан начальный участок графика движения частицы, начинающей блуждание из нуля). Пусть X_j - случайная величина, равная перемещению частицы на j-м шаге. Тогда X₁, ..., X_n,... образуют последовательность независимых случайных величин. Координата блуждающей частицы в момент nΔ t равна сумме S_n = X₁ + ... + X_n . Поэтому график Б. б. дает также наглядное представление о поведении нарастающих сумм случайных величин, причем многие характерные черты флуктуации сохраняются и для сумм значительно более общих случайных величин. Этот график показывает также изменения капитала одного из игроков в классич. задаче о разорении (именно в связи с этой задачей были найдены формулы для вероятностей многих событий в Б. б.),

Рис. 1. Начальный участок графика движения частицы, совершающей блуждание Бернулли.

В физике Б. б. используют для грубого описания одномерных процессов диффузии (см. Диффузионный процесс) и броуновского движения материальных частиц под действием ударов молекул.

Из важнейших фактов, связанных с Б. б., можно отметить следующие (при этом ниже, если не оговорено противное, принято допущение Δ t = 1, h = 1).

Вероятности возвращения. Пусть блуждание начинается из нуля. Тогда вероятность хотя бы одного возвращения в нуль равна 1 - |р - q|, т. е. равна единице в симметричном случае р = q = 1/2 и меньше единицы при р ≠ q. В симметричном случае величины τ₁ (время до первого возвращения в нуль) и τ₂ (время между первым и вторым возвращениями) и т. д. суть независимые случайные величины с бесконечным математич. ожиданием. Время до N-го возвращения, т. е. сумма τ₁ + ... + τ_N растет как N², а среднее число N_2n возвращений за 2n шагов задается формулой

и растет как √n:

Отсюда вытекает парадоксальное следствие: в симметричном Б. б. «волны» на графике между последовательными возвращениями в нуль оказываются поразительно длинными (рис. 2). С этим связано и другое обстоятельство, а именно, что для Т_n /n (доли времени, когда график находится выше оси абсцисс) наименее вероятными оказываются значения, близкие к 1/2. Точнее, справедливо следующее утверждение: при → ∞, n - k → ∞ для вероятности р_{2n, 2k} равенства Т_2n = 2k имеет место формула:

где x = x_{n, k} = k/n. Следствием является так наз. закон арксинуса: при каждом 0 < α < 1 вероятность неравенства Т_n /n < α стремится к

Опираясь на этот факт, можно показать, что при 10 000 шагов частица остается на положительной стороне более чем 9930 моментов времени с вероятностью ≥ 0, 1, т. е., грубо говоря, подобное положение будет наблюдаться не реже, чем в одном случае из десяти (хотя на первый взгляд оно кажется абсурдным).

Максимальное отклонение. При р > q или р < q блуждающая частица уходит с вероятностью единица в + ∞ или - ∞. Поэтому, напр., при р < q определена случайная величина

и вероятность того, что М⁺ = х, равна

Бернулли блуждание с границами. Часто рассматривают Б. б. при наличии поглощающих или отражающих экранов. Пусть, напр., блуждание начинается из нуля. Наличие в точке а поглощающего экрана проявляется в том, что по достижении этой точки частица перестает двигаться. При наличии в точке а = (k + 1/2) (k ≥ 0 целое) отражающего экрана частица с вероятностью q переходит из k в (k - 1) и с вероятностью р остается на месте. Основным средством вычисления вероятностей поглощения и вероятностей достижения тех или иных точек служат разностные уравнения. Пусть, напр., поглощающий экран стоит

Рис. 2. Графики трех блужданий Бернулли; каждое наблюдалось на протяжении 200 000 единиц времени.

в точке - а (а > 0). Если z_{t, x} есть вероятность того, что частица, находящаяся в точке х в момент времени t, поглотится до момента n (включительно), то имеет место уравнение:

z_{t, x} = qz_{t + 1, x - 1} + p_{t + 1, x + 1}, x > - a,

со следующими очевидными граничными условиями:

z_{t, - a} = 1, 0 & #8804; t ≤ n, z_{n, x} = 0, x > - a;

Решение этой задачи при р = q = 1/2 было известно А. Муавру (A. Moivre) и П. Лапласу (P. Laplace). Формула Лапласа имеет вид:

(*)

где

Переход к процессам диффузии. Пусть, напр., p = q = 1/2, Δ t = 1/N, h = 1/√N. Тогда при N → ∞ многие вероятности, вычисленные для схемы Б. б., стремятся к пределам, равным аналогичным вероятностям для броуновского движения. Пусть речь идет о вероятности того, что частица, вышедшая из нуля, поглотится экраном, стоящим в точке α, до момента Т. Предельным переходом из формулы (*) при n/N = Т, t = 0, х = 0, a / √N = a получается величина

равная вероятности того, что координата X (v) частицы, совершающей броуновское движение, удовлетворяет неравенству:

т. е. вероятности того, что частица поглотится на барьере - α. Для более или менее полного описания всех подобных предельных соотношений уместно встать на общую точку зрения и рассмотреть переход от дискретного процесса «нарастающих сумм» к непрерывному случайному процессу (см. Предельные теоремы).

На схеме Б. б. можно весьма наглядно пояснить такие закономерности поведения сумм случайных величин, как больших чисел усиленный закон и повторного логарифма закон.

Лит. : [1] Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., 2 изд., т. 1-2, М., 1967.

Ю. В. Прохоров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.