БЕРНУЛЛИ АВТОМОРФИЗМ

Расстановка ударений: БЕРНУ`ЛЛИ АВТОМОРФИ`ЗМ

БЕРНУЛЛИ АВТОМОРФИЗМ - автоморфизм пространства с мерой, описывающий Бернулли испытания и их обобщение - последовательность независимых испытаний, имеющих одни и те же исходы и одно и то же распределение вероятностей.

Пусть А - совокупность всевозможных исходов испытания, а вероятность события В ⊂ А дается мерой ν ; для счетного А обозначим его элементы через а_i и их вероятности через p_i = ν (a_i). Фазовым пространством Б. а. служит прямое произведение счетного числа экземпляров множества А, т. е. точки фазового пространства суть бесконечные последовательности b = {b_k}, где k пробегает множество целых чисел и каждое b_k ∈ А. Преобразование Т состоит в сдвиге всех членов каждой последовательности влево на одно место: T{b_k} = {b_{k + 1}} - Мера μ определяется как прямое произведение счетного числа мер ν ; таким образом, если А счетно, то

μ {b: b_i1 = a_j1, ..., b_ik = a_jk} = p_j1 ... p_ik .

В последнем случае энтропия Б. п. равна - Σ p_i log р_i .

В эргодической теории Б. а. (точнее, получающийся при его итерировании каскад) играет роль стандартного примера динамич. системы, в поведении к-рой проявляются статистич. свойства. Б. а. является K-автоморфизмом, но существуют K-автоморфизмы, метрически неизоморфные Б. а., хотя многие K-автоморфизмы метрически изоморфны Б. а. Два Б. а. метрически изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковую энтропию [1]. Б. а. является факторавтоморфизмом любого эргодического автоморфизма пространства Лебега с большей энтропией [2].

Лит. : [1] Орнштейн Д., «Математика», 1971, т. 15, № 1, с. 114-30, 131-50; [2] Синай Я. Г., «Матем. сб. », 1964, т. 63, № 1, с. 23-42.

Д. В. Аносов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.