БЁРНСАЙДА ПРОБЛЕМА

Расстановка ударений: БЁ`РНСАЙДА ПРОБЛЕ`МА

БЁРНСАЙДА ПРОБЛЕМА - 1) Б. п. о конечных группах: существуют ли неразрешимые конечные группы нечетного порядка? Другая формулировка: имеют ли все конечные простые неабелевы группы четные порядки? Эта Б. п. связана с именем У. Бёрнсайда, отметившего в 1897, что порядки всех известных к тому времени простых неабелевых групп четны [1]. Решена в 1962 У. Фейтом и Дж. Томпсоном [2], показавшими, что все конечные группы нечетного порядка разрешимы.

Лит. : [1] Burnside W., The theory of groups of finite order, 2 ed., Camb., 1911; [2] Рeit W., Thompson J., «Pacific J. Math. », 1963, v. 13, № 3, p. 775-1029.

В. Д. Мазуров.

2) Б. п. о периодических группах; поставлена У. Бёрнсайдом в 1992 (см. [1]): всегда ли конечна конечно порожденная группа, каждый элемент к-рой имеет конечный порядок (неограниченная Б. п.)? Эта Б. п. может быть сформулирована также в виде вопроса: будет ли локально конечной группой всякая периодическая группа? У. Бёрнсайд специально выделил важный случай этой проблемы, когда порядки всех элементов группы ограничены в совокупности (ограниченная Б. п.), т. е. в группе выполняется тождественное соотношение хⁿ = 1 при нек-ром натуральном n. Наибольшее внимание было привлечено именно к ограниченному варианту Б. п. Другими словами, изучалась факторгруппа В (d, n) = F/Fⁿ свободной группы F с d ≥ 2 образующими по подгруппе Fⁿ, порожденной n-ми степенями fⁿ всех элементов f ∈ F. Известны следующие результаты: В (d, 2) - элементарная абелева группа порядка 2^d ; В (d, 3) - конечная группа порядка 3^m_d, где m_d = d + (^d₂) + (^d₂) (см. [1], [2]); В (d, 4) - конечная группа (порядка 2¹² при d = 2 и 2⁶⁹ при d = 3 (см. (1), (3), (4)); В (d, 6) - конечная группа порядка 2^s 3^t, где s = 1 + (d - 1)3^m_d, t = m_r и r = 1 + (d - 1)2^d (см. [5], [6]). В 1959 (см. [7]) было анонсировано отрицательное решение ограничений Б. п. В [8] опубликовано отрицательное решение неограниченной Б. п. В дальнейшем была предложена еще одна конструкция периодич. группы, не являющейся локально конечной [9]. В 1968 (см. [10]) было опубликовано доказательство теоремы о бесконечности группы В (d, n), d ≥ 2, для всех нечетных n ≥ 4381 (отрицательное решение ограниченной Б. п.). Позднее было доказано, что в В (d, n) разрешимы проблема тождества слов и проблема сопряженности; В (d, n) не может быть задана конечным числом определяющих соотношений; все конечные подгруппы в В (d, n) абелевы, а все абелевы подгруппы являются циклическими; В (d, n), d ≥ n, не удовлетворяют ни условию максимальности, ни условию минимальности для нормальных подгрупп; В (d, n), d > 2, изоморфно вкладывается в группу В (2, n). Изучению свойств бесконечных групп В (d, n) на основе усовершенствованных методов из [10] посвящена монография [11], где, в частности, указанная выше граница для нечетных n снижена до n ≥ 665. Трудной задачей является окончательное разграничение показателей n, к-рым соответствуют конечные или бесконечные группы B (d, n). Значения n = 5 и n = 2^m, m ≥ 3, представляют в этой связи особый интерес. Остается открытым (1977) вопрос о локальной конечности групп с условием минимальности для подгрупп; в классе 2-групп ответ на него положителен (см. [12]).

С сер. 30-х гг. стала постепенно выкристаллизовываться мысль о том, что для теории конечных групп важно, собственно, знать ответ на следующий вопрос: будет ли порядок любой конечной группы с d образующими и тождественным соотношением хⁿ = 1 ограничен сверху нек-рым натуральным числом b (d, n), зависящим только от d и n? Это так наз. ослабленная Б. п. Она решена положительно для любого простого показателя n = р (см. [13]). Доказано, таким образом, существование универсальной конечной р-группы В¯ (d, р) порядка b(d, р), факторгруппам к-рой изоморфны все другие конечные р-группы с d образующими и соотношением х^p = 1. В случае конечности В (d, р) имеет место совпадение: В¯ (d, р) = В (d, р). Сопоставление результатов из [10] и из [13] приводит к существованию при достаточно большом р конечно порожденной бесконечной простой р-группы показателя р. Было доказано, что b(2, 5) = 5³⁴ . Для b (d, р) при р ≥ 7 имеются лишь нек-рые оценки снизу, связанные с соответствующими оценками для класса нильпотентности c(d, р) группы B¯ (d, p). По-видимому, с(2, р) не может быть линейной функцией р. Что более существенно, c(d, р) растет неограниченно вместе с d (см. [14], [15]). Вопрос о существовании В (d, n) при n = p^m, m > 1, начиная с n = 8 и 9, открыт (1977). В то же время из результатов, полученных в [6] и [13], а также из теоремы о разрешимости групп нечетного порядка (см. Бернсайда проблема о конечных группах) и нек-рых классификационных фактов о простых группах вытекает существование b(d, n) для всех n, свободных от квадратов.

В первоначальном решении [8] неограниченной Б. п. и ослабленной Б. п. [13] для простого показателя р использован выход в теорию алгебр, в первом случае - на основе признака бесконечномерности алгебры, а во втором - на основе одного тождества в Ли алгебрах, являющегося аналогом тождества х^p = 1 в группах (см. [16], [17]). Проблемы бернсайдовского типа, помимо уже упомянутых, получили весьма широкое распространение (см. [8], [9]).

Лит. : [1] Burnside W., «Quart. J. Pure and Appl. Math. », 1902, v. 33, p. 230-38; [2] Levi F. W., Van der Waerden B. L., «Abh. Math. Sem. in Univ., Hamburg», 1932, Bd 9, S. 154-58; [3] Санов И. Н., «Уч. зап. ЛГУ. Сер. матем. », 1940, в. 10, с. 166-70; [4] Вayes A. J., Каutsky J., Wamsley Т. W., в кн. : Ргос. Second internat. conf. theory of groups, Canberra, 1973, p. 82-89; [5] Hall M., «Рrос. Nat. Acad. Sci. U. S. A. », 1957, v. 43, p. 751-53; [6] Hall Ph., Higman G., «Рrос. London Math. Soc. », 1956, v. 6, № 21, p. 1-42; [7] Hовиков П. С. «Докл. АН СССР», 1959, т. 127, № 4, с. 749-52; [8] Голод Е. С. в кн. : Труды Международного конгресса математиков, М., 1968, с. 284-89; [9] Алёшин С. В., «Матем. заметки», 1972, т. 11, № 3, с. 319-28; [10] Новиков П. С., Адян С. И., «Изв. АН СССР. Сер. матем. », 1968, т. 32, № 1, с. 212-44, № 3, с. 709-31; [11] Адян С. И., Проблема Бернсайда и тождества в группах, М., 1975; [12] Шмидт О. Ю., Избранные труды. Математика, М., 1959, с. 298-300; [13] Кострикин А. И., «Изв. АН СССР. Сер. матем. », 1959, т. 23, № 1, с. 3-34; [14] Buchmuth S. М., Muchizuki Н. Y., Wаlkuр D. W., «Bull. Amer. Math. Soc. », 1970, v. 76, № 3, p. 638-40; [15] Размыслов Ю. П., «Алгебра и логика», 1971, т. 10, № 1, с. 33-44; [16] Magnus W., «J. reine und angew. Math. », 1937, Bd 177, № 1, S. 105-15; [17] Higman G., в кн. : Proceedings of the International congress of mathematicians, Camb., 1960, p. 307-12; [18] Курош А. Г., «Изв. АН СССР. Сер. матем. », 1941, т. 5, с. 233-40.

А. И. Нострикин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.