БЁРКИЛЯ ИНТЕГРАЛ

Расстановка ударений: БЁ`РКИЛЯ ИНТЕГРА`Л

БЁРКИЛЯ ИНТЕГРАЛ - понятие, введенное Дж. Бёркилем [1] для определения площади поверхности. В современном виде Б. и. вводится для интегрирования неаддитивной функции F(J) n-мерного сегмента (бруса). Пусть R есть множество, представимое в виде суммы (объединения) конечного числа сегментов (такое множество наз. фигурой). Каждое представление R = ∪ J_k наз. разбиением фигуры R. Верхним Б. и. и нижним Б. и. от функции сегмента F(J) по фигуре R наз. соответственно верхний и нижний пределы сумм Σ_k F(J_k) для всевозможных разбиений при стремлении к нулю максимума диаметров сегментов, входящих в разбиение. Если эти интегралы равны, то их общее значение наз. интегралом Бёркиля от функции F по R и обозначается ∫_R F, Если F интегрируема на R, то F интегрируема на каждой фигуре R₁ ⊂ R. Тем самым вводится неопределенный Б. и., к-рый является аддитивной функцией множества. Если F непрерывна, то и неопределенный Б. и. непрерывен.

Понятие Б. и. может быть обобщено на случай функции множества, определенной на нек-ром классе подмножеств абстрактного пространства с мерой. Этот класс должен удовлетворять ряду требований; в частности, каждое множество из данного класса должно допускать разбиение на составляющие множества из того же класса, имеющие произвольно малые меры. Тогда для любого множества из класса определяется Б. и. по аналогии с n-мерным случаем, причем соответствующие пределы берутся при стремлении к нулю максимума мер составляющих множеств. Б. и. естественным образом обобщается на функции множества со значениями в коммутативной топологич. группе. Б. и. является менее общим, чем введенный позднее Колмогорова интеграл, наз. также интегралом Бёркиля-Колмогорова. Всякая интегрируемая по Бёркилю функция интегрируема по Колмогорову при соответствующем упорядочении разбиений. Обратное верно лишь при нек-рых дополнительных условиях. Б. и. используется для построения Данжуа интеграла в различных пространствах.

Интегралом Бёркиля наз. также ряд введенных Дж. Бёркилем обобщений Перрона интеграла (АР-интеграл СР-интеграл, SCP-интеграл), в определении к-рых вместо обычных производных чисел используются нек-рые обобщенные производные числа. Эти Б. и. находят применение в теории тригонометрич. рядов.

Лит. : [1] Burkill J. С., «Рrос. London Math. Soc. », ser. 2, 1924, v. 22, p. 275-336; [2] Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949; [3] Романовский П. И., «Матем. сб. », 1941, т. 9, № 1, с. 67-120; [4] Вurkill J. С. «Рrос. London Math. Soc. », ser. III, 1951, v. 1, № 1, p. 46-57.

В. А. Скворцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.