БЕМОЛЬНАЯ НОРМА

Расстановка ударений: БЕМО`ЛЬНАЯ НО`РМА

БЕМОЛЬНАЯ НОРМА r-мерной полиэдральной цепи А в пространстве Еⁿ - норма |А|, определяемая следующим образом:

|А| = inf { |A - ∂D| + |D| },

где |С| - масса цепи С, ∂С - ее граница, и нижняя грань берется по всем (r + 1)-мерным полиэдральным цепям. Свойства Б. н. :

|аА| = |a||А|, |А + В| ≤ |A| + |В|,

|А| = 0 ⇔ А = 0, |А| ≤ |A|, |σ | = |τ |

для любой клетки σ, если π - проекция Еⁿ на нек-рую плоскость, то |π А| ≤ |А|.

Пополнение линейного пространства полиэдральных цепей С_r (Еⁿ) является сепарабельным банаховым пространством С_r{Еⁿ); элементы его наз. r-мерными бемольными цепями, и каждой из них можно приписать конечную или бесконечную массу:

Граница ∂бемольной цепи также определяется предельным переходом, она является непрерывной операцией, и

|∂А| ≤ |А|, |А| = inf {|А - ∂D| + |D|}.

Б. н. представляет собой наибольшую из полунорм | ⋅ |' в С_r (Еⁿ), удовлетворяющую для любой клетки σ неравенствам: |σ^r |' ≤ |σ^r |, |∂σ^{r + 1} ]' ≤ |σ^{r + 1} |. r-мерная бемольная коцепь X - линейная функция r-мерных бемольных цепей А (обозначается через X ⋅ A) такая, что (|X| - комасса X)

|X ⋅ А| ≤ N |A| для нек-рого N.

Она является элементом сопряженного с С_r{Еⁿ) пространства С^r {Еⁿ), к-рое оказывается несепарабельным. Бемольная норма |X|-мерной бемольной коцепи X определяется стандартным образом:

|X| = sup |X ⋅ A|, |А| = 1

так что

|А| = sup |X ⋅ A| и |X ⋅ A | ≤ |X||A|,

|X| = 1

причем

|X| ≤ |X|.

Для кограницы dX бемольной коцепи (определяемой условием: dX ⋅ A = X ⋅ dA): |dX| ≤ |X|, так что |X| = sup {|X|, |dX|}.

Аналогичные понятия вводятся для полиэдральных r-мерных цепей, расположенных в открытых подмножествах R ⊂ Eⁿ . См. также Бемольная форма.

Лит. : [1] Уитни X., Геометрическая теория интегрирования, пер. с англ., М., 1960.

М. И. Войцеховский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.