БЕЛЫЙ ШУМ

Расстановка ударений: БЕ`ЛЫЙ ШУ`М

БЕЛЫЙ ШУМ - обобщенный стационарный случайный процесс X (t) с постоянной спектральной плотностью. Корреляционная (обобщенная) функция процесса Б. ш. имеет вид: В(t) = σ² δ (t), где σ² - нек-рая положительная постоянная, а δ (t) - дельта-функция. Процесс Б. ш. широко используется в приложениях для описания случайных возмущений с очень малым временем корреляции (напр., «теплового шума» - пульсаций силы тока в проводнике, вызываемых тепловым движением электронов). В спектральном разложении Б. ш.

«элементарные колебания» e^{iλ t} dz (λ) при всех частотах λ имеют в среднем одинаковую интенсивность, точнее, их средний квадрат амплитуды есть

Указанное выше спектральное разложение означает, что для любой интегрируемой с квадратом функции φ (t)

где φ̃ (λ) - преобразование Фурье φ (t); более явная зависимость обобщенного процесса X = 〈 X, φ 〉 от функции φ (t) может быть описана с помощью соответствующей стохастич. меры dη (t) того же типа, что и dz (λ) (dη (t) - преобразование Фурье стохастич. меры dz(λ)), а именно

Гауссовский белый шум X (t), являющийся обобщенной производной от броуновского движения η (t) (X (t) = η ' (t)), служит основой для построения стохастических диффузионных процессов Y (t), «управляемых» стохастическими дифференциальными уравнениями вида

Y'(t) = a(t, Y (t)) + σ (t, Y (t)) ⋅ η ' (t);

эти уравнения обычно записывают в форме дифференциалов:

dY(t) = a (t, Y (t))dt + σ (t, Y (t))dη (t). Другой важной моделью с использованием Б. ш. является случайный процесс Y (t), описывающий поведение устойчивой колебательной системы под воздействием стационарных случайных возмущений X (t), когда Y(s), s < t, не зависят от X (u), u > t; простейшим примером может служить система вида

где Р (z) - многочлен с корнями в левой полуплоскости; после затухания «переходных процессов»

В приложениях, при описании так наз. процессов дробового эффекта, большую роль играет Б. ш. вида

X (t) = ∑_k δ (t - τ_k)

(k изменяется от - ∞ до ∞ и..., τ_{- 1}, τ₀, τ₁,... - случайные моменты, распределенные во времени по пуассоновскому закону), точнее, X (t) является обобщенной производной пуассоновского процесса η (t). Сам процесс дробового эффекта имеет вид:

где c(t, s) - нек-рая весовая функция, удовлетворяющая условию

при этом среднее значение обобщенного процесса Х = 〈 X, φ 〉 есть

где а - параметр упомянутого выше пуассоновского закона, и стохастич. мера dz(λ) в спектральном представлении

этого процесса такова, что

Лит. : [1] Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, М., 1967.

Ю. А. Розанов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.