БЕЗУСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ

Расстановка ударений: БЕЗУСЛО`ВНАЯ СХОДИ`МОСТЬ

БЕЗУСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ - свойство ряда сходиться при любой перестановке его членов. Точнее, ряд

(*)

из элементов линейного пространства Е, в к-ром определено понятие сходящейся последовательности, наз. безусловно сходящимся, если он сходится при любой перестановке его членов.

Одно направление исследований относится к изучению безусловно сходящихся рядов в векторных метрических (или топологических) пространствах (см. [1]-[3]). Так, для Б. с. ряда (*) из элементов банахова пространства Е необходимо и достаточно, чтобы каждый частичный ряд n₁ < n₂ <..., был сходящимся [4]. Б. с. числового ряда равносильна его абсолютной сходимости (см. Римана теорема о перестановке членов ряда). Вообще, если Е - конечномерное векторное нормированное пространство, то Б. с. ряда равносильна сходимости ряда бесконечномерном банаховом пространстве такое утверждение неверно.

Другое направление исследований касается свойств безусловно сходящихся почти всюду функциональных (или ортогональных) рядов [5]. Эти свойства зачастую принципиально отличны от свойств Б. с. рядов в банаховых пространствах. Так, напр., аналог сформулированной выше теоремы Орлича не имеет места для Б. с. почти всюду [6].

Лит. : [1] Банах С. Курс функцiнального аналiзу, К., 1948; [2] Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961; [3] Данфорд Н., Шварц Дж. Т., Линейные операторы. Общая теория, пер. с англ., [ч. 1], М., 1962; [4] Orlicz W., «Stud. math. », 1929, t. 1, p. 241-55; [5] Качмаж С. Штейнгауз Г., Теория ортогональных рядов, пер. с нем., М., 1958; [6] Ульянов П. Л., «Успехи матем. наук», 1961, т. 16, в. 3, с. 61-142.

Б. И. Голубов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.