БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ

Расстановка ударений: БЕЗГРАНИ`ЧНО ДЕЛИ`МОЕ РАСПРЕДЕЛЕ`НИЕ

БЕЗГРАНИЧНО ДЕЛИМОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ - распределение вероятностей, к-рое при любом n = 2, 3, 4,... может быть представлено как композиция (свертка) n одинаковых распределений вероятностей. Определение Б. д. р. в равной степени применимо к распределениям на прямой, в конечномерных евклидовых пространствах и в нек-рых еще более общих случаях. Ниже рассматривается одномерный случай.

Характеристич. функции f(t) Б. д. р. наз. безгранично делимыми. Каждая такая функция при любом n может быть представлена как n-я степень некоторой другой характеристич. функции:

f(t) = (f_n (t))ⁿ .

Примерами Б. д. р. могут служить нормальное распределение, Пуассона распределение, Коши распределение, «хи-квадрат» распределение. Проверять свойство безграничной делимости проще всего с помощью характеристич. функций. Композиция Б. д. р. и предел слабо сходящейся последовательности Б. д. р. суть снова Б. д. р.

Cлучайную величину, определенную на нек-ром вероятностном пространстве, наз. безгранично делимой, если при любом n она может быть представлена в виде суммы n независимых одинаково распределенных случайных величин, определенных на том же пространстве. Распределение каждой такой величины - Б. д. р. Обратное не всегда верно. Так, если взять дискретное вероятностное пространство, образованное неотрицательными целыми числами m = 0, 1, 2,... с приписанными им пуассоновскими вероятностями

то случайная величина Х(m) = m не будет безгранично делимой, хотя ее распределение вероятностей (распределение Пуассона) есть Б. д. р.

Б. д. р. впервые появились в связи с изучением стохастически непрерывных однородных случайных процессов с независимыми приращениями (см. [1], [2], [3]). Так называют процессы X(τ), τ ≥ 0, удовлетворяющие требованиям: 1) X(0) = 0; 2) распределение вероятностей приращения X(τ₂) - X(τ₁), τ₂ > τ₁, зависит только от τ₂ - τ₁ ; 3) при τ₁ ≤ τ₂ ≤... ≤ τ_k разности

X(τ₂) - X(τ₁), X(τ₃) - X(τ₂), ..., X(τ_k) - X(τ_{k - 1})

являются взаимно независимыми случайными величинами; 4) для любого ε > 0

при τ → 0. Для такого процесса значение X(τ) при любом τ будет иметь Б. д. р. и соответствующая характеристич. функция удовлетворяет соотношению:

f_τ (t) = (f₁ (t))^τ .

Общий вид f_τ (t) для таких процессов в предположении конечности дисперсий DX(τ) был найден А. Н. Колмогоровым [2] (частный случай приводимого ниже общего канонич. представления Б. д. р.).

Характеристич. функция Б. д. р. нигде не обращается в нуль, и ее логарифм (в смысле главного значения) допускает представление вида:

(*)

(так наз. каноническое представление Леви-Хинчина), где

γ - нек-рая действительная постоянная, G(u) - неубывающая функция ограниченной вариации с G(- ∞) = 0. Подинтегральное выражение при u = 0 принимают равным - t² /2. При любом выборе постоянной γ и функции G(х) с указанными выше свойствами формула (*) определяет логарифм характеристич. функции нек-рого Б. д. р. Соответствие между Б. д. р. и парами (γ, G) взаимно однозначно и взаимно непрерывно. Последнее означает, что Б. д. р. слабо сходятся к предельному Б. д. р. тогда и только тогда, когда γ_n → γ и G_n (х) слабо сходятся к G(x) при n → ∞.

Примеры. Пусть U(x) = 0, x ≤ 0, U(x) = 1, х > 0. Тогда для нормального распределения с математия. ожиданием а и дисперсией σ² в формуле (*) следует положить

Для распределения Пуассона с параметром λ имеем

Для распределения Коши с плотностью

имеем γ = 0,

Канонич. представление (*) удобно с чисто «технической» точки зрения (благодаря тому, что G имеет ограниченную вариацию), однако функция G не имеет прямого вероятностного истолкования. Поэтому используют и другую форму представления Б. д. р., допускающую непосредственную вероятностную интерпретацию. Пусть функции М(u) и N(u) определены при u < 0 и u > 0, соответственно, формулами:

Эти функции неубывающие, М(u) ≥ 0 при u < 0 и N(u) ≤ 0 при u > 0; в окрестности нуля функции могут неограниченно возрастать. Обозначая дополнительно через σ² скачок функции G в нуле, формулу (*) можно переписать в виде:

(каноническое представление Леви). Функции М и N описывают, грубо говоря, частоту скачков различного размера в однородном процессе X(τ) с независимыми приращениями, для к - рого

ln f_τ (t) = τ ln f(t).

Важная роль Б. д. р. в предельных теоремах теории вероятностей связана с тем, что эти и только эти распределения могут быть предельными для сумм независимых случайных величин, подчиненных требованию асимптотической пренебрегаемости. При этом рассматривают последовательность серий X_n1, ..., X_nkn n = 1, 2, ..., взаимно независимых случайных величин и затем подбирают взаимно независимые случайные величины Y_n1, ..., Y_nkn, имеющие Б. д. р. (так наз. сопровождающие Б. д. р.); характеристич. функция g_nk (t) величины Y_nk определяется по характеристич. функции f_nk (t) величины X_nk так, чтобы выполнялось следующее основное свойство: распределения сумм

сходятся к предельному распределению (при нек-ром выборе констант А_n) тогда и только тогда, когда сходятся к предельному распределения сумм

Для симметричного распределения Х_nk полагают

g_nk (t) = exp (f_nk (t) - 1).

В других случаях выражение g_nk сложнее и содержит так наз. урезанные математич. ожидания Х_nk . Свойства Б. д. р. описывают в терминах функций, входящих в канонич. представления. Так, напр., безгранично делимая функция распределения F (х) непрерывна тогда и только тогда, когда .

Важным частным случаем Б. д. р. являются так наз. устойчивые распределения. См. также Безгранично делимых распределений разложение.

Лит. : [1] Finеtti В. dе, «Atti Accad. naz. Lincei. Mem. Cl. sci. fis., mat. e natur. Sez. 1», ser. 6, 1929, v. 10, p. 163-68; [2] Колмогоров А. H., там же, 1932, v. 15, p. 866-69; [3] Levy Р., «Ann. Scuola Norm. di Pisa», 1934, v. 3, p. 337-66; [4] Levy P., Théorie de l'addition des variables aléatoires, P., 1937; [5] Хинчин А. Я., Предельные законы для сумм независимых случайных величин, М. - Л., 1938; [6] Гнеденко Б. В.. Колмогоров А. Н., Предельные распределения для сумм независимых случайных величин, М. - Л., 1949; [7] Fisz М., «Аnn. Math. Statist. », 1962, v. 33, p. 68-84; [8] Пeтpов В. В., Суммы независимых случайных величин, М., 1972; [9] Сазонов В. В., Тутубалин В. Н., «Теория вероятн. и ее примен. », 1966, т. 11, с. 3-55.

Ю. В. Прохоров.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.