БАШНЯ ПОЛЕЙ

Расстановка ударений: БА`ШНЯ ПОЛЕ`Й

БАШНЯ ПОЛЕЙ - последовательность расширений

k ⊂ k₁ ⊂... ⊂ k_i ⊂... (*)

нек-рого поля k. В зависимости от свойств расширений k_{i + 1} /k_i ; башни наз. нормальными, абелевыми, сепарабельными и др. Понятие Б. п. играет важную роль в Галуа теории, где вопрос о разрешимости уравнения в радикалах сводится к возможности погружения поля коэффициентов этого уравнения в нормальную и абелеву Б. п.

В полей классов теории возникает башня

k ⊂ k₁ ⊂... ⊂ k_i ⊂...,

где k - нек-рое поле алгебраич. чисел, а каждое поле k_{i + 1} является максимальным абелевым неразветвленным расширением поля k_i . Такие башни наз. башнями полей классов. Группа Галуа каждого расширения k_{i + 1} /k_i изоморфна, в силу закона взаимности, группе классов идеалов поля а так как последняя конечна, то конечны и все расширения k_{i + 1} /k_i . Объединение К полей k_i является максимальным разрешимым неразветвленным расширением поля k. Вопрос о конечности расширения K/k (проблема Б. п.) был поставлен К. Фуртвенглером (К. Furtwängler) в 1925 и отрицательно решен в 1964 (см. [2]). Примером поля, Б. п. классов к-рого бесконечна, является расширение поля рациональных чисел, получаемое присоединением . В частности, такое поле нельзя вложить ни в какое поле алгебраич. чисел, в к-ром имеет место однозначность разложения чисел на простые множители. Решение проблемы имеет применения в теории алгебраич. чисел, напр. помогает получить точную оценку роста дискриминантов полей алгебраич. чисел.

Лит. : [1] Алгебраическая теория чисел, пер. с англ., М 1969; [2] Голод Е. С., Шафаревич И. Р., «Изв. АН СССР. Сер. матем. », 1964, т. 28, № 2, с. 261-72.

А. Н. Паршин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.