БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ

Расстановка ударений: БАРИЦЕНТРИ`ЧЕСКИЕ КООРДИНА`ТЫ

БАРИЦЕНТРИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ - координаты тонки n-мерного векторного пространства Еⁿ, отнесенные к нек-рой фиксированной системе р₀, р₁, ..., р_n точек, не лежащих в (n - 1)-мерном подпространстве. Каждая тонка х ∈ Еⁿ может быть единственным образом представлена в виде

х = λ₀ р₀ + λ₁ р₁ + ... + λ_n p_n,

где λ₀, λ₁, ..., λ_n - действительные числа, удовлетворяющие условию λ₀ + λ₁ + ... + λ_n = 1. Точка х, по определению, есть центр тяжести масс λ₀, λ₁, ..., λ_n, помещенных в точках p₀, p₁, ..., p_n . Числа λ₀, λ₁, ..., λ_n наз. барицентрическими координатами точки х; точка с Б. к. 1/(n + 1) наз. барицентром.

Б. к. введены А. Мёбиусом в 1827 (см. [1]) как ответ на вопрос о том, какие массы следует поместить в вершинах заданного треугольника, чтобы данная точка была центром тяжести этих масс. Б. к. являются частным случаем общих однородных координат; они аффинно инвариантны.

Б. к. точек симплекса используются в алгебраич. топологии (см. [2]). Барицентрическими координатами точек n-мерного симплекса σ относительно его вершин A₀, A₁, ..., A_n наз. их (общие) декартовы координаты в базисе векторов ОА₀, ОА₁, ..., ОА_n, где О - любая точка, не лежащая в n-мерном подпространстве, несущем σ (считается, что σ лежит в нек-ром евклидовом пространстве; при этом определение не зависит от точки О), или проективные координаты относительно A₀, A₁, ..., A_n в проективном пополнении содержащего о подпространства. Б. к. точек симплекса неотрицательны и их сумма равна единице. Обращение в нуль i-й Б. к. равносильно тому, что точка лежит на противоположной вершине А_i грани симплекса σ. Это позволяет рассматривать Б. к. точек геометрич. комплекса относительно всех его вершин. При помощи Б. к. производится барицентрическое подразделение комплекса.

По аналогии с этим вводится формальное определение Б. к. для абстрактных симплексов (см. [3]).

Лит: [1] Möbius A. F., Der barycentrische Calcul, в его кн. : Gesammelte Werke, Bd 1, Lpz., 1885; [2] Понтpягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, 2 изд., М., 1976; [3] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971

Е. Г. Скляренко.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.