БАНАХОВО АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

Расстановка ударений: БАНА`ХОВО АНАЛИТИ`ЧЕСКОЕ ПРОСТРА`НСТВО

БАНАХОВО АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО - бесконечномерное обобщение понятия аналитич. пространства, возникшее в связи с изучением деформаций аналитических структур. Локальной моделью здесь служит банахово аналитическое множество, т. е. подмножество μ (U, Р, f) = f^{- 1} (0) открытого множества U в банаховом пространстве Е над ℂ, где f: U → F - аналитическое отображение в банахово пространство F. В отличие от конечномерного случая, на локальной модели задается не один структурный пучок, а набор пучков Ф(W), где W - открытое множество в произвольном банаховом пространстве G. При этом Ф(G) определяется как фактор пучка ростков аналитич. отображений U → G по подпучку ростков отображений вида x → φ (x)f(x), где φ : U → Hom(F, G) - локальное аналитич. отображение, а Ф(W) ⊂ Ф(G) порождается отображениями, принимающими значения в W. Пучки Ф(W) определяют функтор из категории К открытых множеств банаховых пространств и их аналитич. отображений в категорию пучков множеств на f^{- 1} (0).

Банаховым аналитическим пространством наз. топологич. пространство X, снабженное функтором из категории К в категорию пучков множеств на X, каждая точка к-рого имеет окрестность, изоморфную нек-рой локальной модели.

Комплексные аналитич. пространства образуют полную подкатегорию в категории банаховых аналитич. пространств. Б. а. п. конечномерно, если у каждой его точки х есть окрестность, изоморфная такой модели μ (U, F, f), что существует отображение g: U → U, индуцирующее автоморфизм модели и имеющее вполне непрерывный дифференциал dg_x (см. [1]).

Другой частный случай Б. а. п. - банахово аналитическое многообразие, т. е. аналитич. пространство, локально изоморфное открытым подмножествам банаховых пространств. Важным примером является многообразие замкнутых и допускающих замкнутое дополнение линейных подпространств банахова пространства над ℂ.

Конечно определённые банаховы аналитические множества, т. е. модели вида μ (U, ℂ^k, f), обладают локальными свойствами, аналогичными классическим: для них имеют место примарное разложение, теорема Гильберта о нулях, теорема о локальном описании и др. (см. [2]).

Лит. : [1] Douady А., «Аnn. Inst. Fourier», 1966, t. 16, № 1, p. 1-95; [2] Ramis J.-P., Sousensembles analytiques d'une variétébanachique complexe, В. - Hdlb. - N. Y., 1970.

Д. А. Пономарев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.