БАНАХОВА РЕШЕТКА

Расстановка ударений: БАНА`ХОВА РЕШЕ`ТКА

БАНАХОВА РЕШЕТКА, банахова структура, - векторная решетка (структура), являющаяся одновременно банаховым пространством с нормой, удовлетворяющей условию монотонности:

|x| ≤ |y| ⇒ ||x|| ≤ ||y||.

Б. р. наз. также KB-линеалом, а произвольную нормированную, т. е. векторную решетку с монотонной нормой - KN-линеалом. При пополнении нормированной решетки по норме порядковые отношения могут быть распространены на получающееся банахово пространство так, что оно оказывается Б. р. Если в решетке можно ввести банахову топологию, превращающую ее в Б. р., то такая топология единственна. Простейший пример Б. р. - пространство С(Q) непрерывных функций на произвольном компактном топологич. пространстве Q с естественным упорядочением и с обычной (равномерной) нормой. Другие примеры Б. р. - пространства L_p, пространства Орлича. В Б. р. сходимость по норме есть (*)-сходимость для сходимости с регулятором. В нормированной решетке это не так.

Важный частный случай - Б. р. ограниченных элементов. Если в решетке X имеется сильная единица 1, т. е. для каждого х ∈ X существует такое λ, что |x| ≤ λ 1, то наименьшее λ, для к-рого это неравенство справедливо, принимается за ||x||. Полученная нормированная решетка наз. нормированной решеткой ограниченных элементов; если же она полна по норме, то она наз. Б. р. ограниченных элементов. В Б. р. (и даже в нормированной решетке) ограниченных элементов сходимость по норме совпадает со сходимостью с регулятором, а ограниченность множества элементов по норме совпадает с ограниченностью по упорядочению. Если нормированная решетка ограниченных элементов есть условно σ-полная решетка, то она полна по норме.

Пространство С(Q) есть Б. р. ограниченных элементов, в к-рой за единицу принята функция х(q) ≡ 1. Для всякой Б. р. А ограниченных элементов существует такое компактное хаусдорфово пространство Q, что X алгебраически и структурно изоморфна пространству C(Q). Это - абстрактная характеристика Б. р. непрерывных функций на компактном хаусдорфовом пространстве.

В любой нормированной решетке каждый аддитивный и непрерывный по норме функционал регулярен и, более того, представим в виде разности двух аддитивных и непрерывных по норме положительных функционалов. В Б. р. всякий положительный аддитивный функционал непрерывен по норме, и значит классы регулярных и аддитивных непрерывных по норме функционалов совпадают. Пространство X', сопряженное в банаховом смысле к нормированной решетке X, есть условно полная Б. р. В нормированной решетке теорема Хана-Банаха допускает следующее уточнение: для любого х₀ существует такой положительный аддитивный непрерывный по норме функционал f, что f(x₀) = ||x₀ ||, ||f|| = 1.

Лит. : [1] Вулих Б. 3., Введение в теорию полуупорядоченных пространств, М., 1961; [2] Дэй М. М., Нормированные линейные пространства, пер. с англ., М., 1961.

Б. 3. Вулих.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.