БАНАХОВА АЛГЕБРА

Расстановка ударений: БАНА`ХОВА А`ЛГЕБРА

БАНАХОВА АЛГЕБРА - топологическая алгебра А над полем комплексных чисел, топология к-рой определяется нормой, превращающей А в банахово пространство, причем умножение элементов непрерывно по каждому из сомножителей. Б. а. наз. коммутативной, если ху = ух для всех х, у ∈ А (см. Коммутативная банахова алгебра). Б. а. А наз. алгеброй с единицей, если А содержит такой элемент е, что ех = хе = х для любого х ∈ А. Если в Б. а. А нет единицы, то ее можно присоединить, т. е. построить Б. а. Ã с единицей такую, что А̃ содержит исходную алгебру А в качестве замкнутой подалгебры коразмерности 1. В любой Б. а. А с единицей е можно так изменить норму на эквивалентную, чтобы в новой норме выполнялись соотношения ||аb||<||а|| ||b||, ||e|| = 1. (Последующее изложение предполагает, как правило, наличие в алгебре единицы и выполнение приведенных соотношений для нормы.)

Примеры. 1) Пусть X - компактное топология, пространство, С (X) - совокупность всех непрерывных комплексных функций на X. Тогда С (X) является Б. а. относительно поточечных операций и нормы

2) Множество всех ограниченных линейных операторов на банаховом пространстве образует Б. а. относительно обычных операций сложения и умножения линейных операторов и нормы оператора.

3) Пусть V - ограниченная область в n-мерном комплексном пространстве ℂⁿ . Совокупность ограниченных голоморфных функций на V является Б. а. относительно поточечных операций и естественной sup-нормы:

Эта Б. а. содержит замкнутую подалгебру, образованную ограниченными голоморфными функциями на V, допускающими непрерывное продолжение на замыкание области V. Простейшим примером является алгебра непрерывных в круге |z| ≤ 1 функций, аналитических в круге |z| < 1.

4) Пусть G - локально компактная группа и L¹ (G) - пространство (классов эквивалентности) всех измеримых относительно меры Хаара на G абсолютно интегрируемых по этой мере функций, снабженное нормой

||f|| = ∫_G |f(g)|dg

(интеграл по левой мере Хаара).

Если в качестве умножения в L¹ (G) рассмотреть операцию свертки

(f₁ *f₂)(h) = ∫_G f₁ (g)f₂ (g^{- 1} h)dg,

то L¹ (G) становится Б. а. ; если G - абелева локально компактная группа, то Б. a. L¹ (G) коммутативна. Б. а. L¹ (G) наз. групповой алгеброй локально компактной группы G. Групповая алгебра L¹ (G) обладает единицей (относительно свертки) тогда и только тогда, когда G дискретна.

Если G коммутативна, то можно построить точное представление Б. a. L¹ (G), сопоставляя каждой функции f ∈ L¹ (G) преобразование Фурье этой функции, т. е. функцию

на группе характеров Ĝ группы G. Совокупность функций f^(χ), образует нек-рую алгебру A(Ĝ) непрерывных функций на Ĝ (относительно обычных поточечных операций), наз. алгеброй Фурье локально компактной абелевой группы Ĝ. В частности, если G есть группа целых чисел ℤ то А(ℤ) есть алгебра непрерывных функций на окружности, разлагающихся в абсолютно сходящийся тригонометрич. ряд.

5) Пусть G - топологич. группа. Непрерывная комплексная функция f(g) на G наз. почти периодической, если совокупность ее сдвигов f(g₀ g), g₀ ∈ G, образует компактное семейство относительно равномерной сходимости на G. Совокупность почти периодич. функций образует коммутативную Б. а, относительно поточечных операций и нормы

6) Тело кватернионов не образует Б. а. над полем комплексных чисел, так как произведение элементов Б. а. A должно быть согласовано с умножением на числа: для любых λ ∈ ℂ и х, у ∈ А должно выполняться равенство

λ (xy) = (λ x)y = x(λ y),

к-рое не выполняется в теле кватернионов при λ = i, х = j, у = k.

Всякая Б. а. с единицей есть топология, алгебра с непрерывным обратным. Более того, если ε (А) - множество элементов Б. а. А, обладающих (двусторонним) обратным относительно умножения, то ε (А) - топологич. группа в топологии, индуцированной вложением ε (А) ⊂ А. Если ||e - а|| < 1, то а ∈ ε (А), причем

где b = е - а, и ряд сходится абсолютно. Совокупность элементов, обратимых справа (слева) в А, также образует открытое множество в А.

Если в Б. а. А всякий элемент обладает обратным (или хотя бы левым обратным), то алгебра А изометрически изоморфна полю комплексных чисел (теорема Гельфанда-Мазура).

Поскольку нек-рая окрестность единицы в Б. а. А состоит из обратимых элементов, то замыкание любого нетривиального идеала есть снова идеал, не совпадающий с А. В частности, максимальный (левый, правый, двусторонний) идеал замкнут.

Одну из важных задач теории Б. а. составляет задача описания замкнутых идеалов в Б. а. В ряде случаев она решается просто. В алгебре С(X) (см. пример 1) всякий замкнутый идеал имеет вид I = {f ∈ С(X) : f|_Y = 0}, где Y - замкнутое множество в X. Если А - алгебра всех ограниченных линейных операторов в сепарабельном бесконечномерном гильбертовом пространстве, то единственным замкнутым двусторонним идеалом в А служит идеал вполне непрерывных операторов.

Элемент а ∈ А имеет левый (правый) обратный тогда и только тогда, когда он не содержится ни в каком максимальном левом (правом) идеале. Пересечение всех левых максимальных идеалов в А совпадает с пересечением всех правых максимальных идеалов; это пересечение наз. радикалом алгебры А и обозначается Rad А. Элемент а₀ ∈ А принадлежит Rad А тогда и только тогда, когда e + аа₀ ∈ е(A) для любого а ∈ А. Алгебры, для к-рых Rad А = {0}, наз. полупростыми. Алгебры С(X) и групповые алгебры L¹ (G) полупросты. Полупростыми являются все неприводимые (т. е. не имеющие нетривиального инвариантного подпространства) замкнутые подалгебры алгебры всех ограниченных линейных операторов в банаховом пространстве.

Резольвентой элемента а ∈ А наз. функция

λ → a_λ = (a - λ e)^{- 1},

определенная на множестве тех λ ∈ ℂ, для к-рых (двусторонний) обратный к а - λ е существует. Область существования резольвенты содержит все точки λ, с |λ | > ||а||. Максимальная область существования резольвенты есть открытое множество; на этом множестве резольвента непрерывна и даже аналитична, причем . Кроме того, имеет место тождество Гильберта

a_λ2 - a_λ1 = (λ₂ - λ₁)a_λ1 a_λ2 .

Дополнение к области существования резольвенты наз. спектром элемента а и обозначается σ (а). Для любого а ∈ А множество σ (а) непусто, замкнуто и ограничено.

Если а, b ∈ А, то множества σ (ab) и σ (bа) могут не совпадать, но

σ (ab) ∪ {0} = σ (ba) ∪ {0}.

Число

наз. спектральным радиусом элемента а ∈ А ; имеет место формула Гельфанда

|a| = lim||aⁿ ||^1/n,

где предел справа всегда существует. Если a ∈ Rad А, то |а| = 0; обратное верно, вообще говоря, лишь в коммутативных Б. а., радикал к-рых совпадает с множеством обобщенных нильпотентов, т. е. элементов а ∈ A, для к-рых |а| = 0. В любой Б. а. справедливы соотношения |a^k | = |a|^k, |λ а| = |λ ||а| и |а| ≤ ||а||; если A коммутативна, то |ab| ≤ |a||b| и |a + b| ≤ |a| + |b|.

Известны примеры некоммутативных алгебр, в к-рых отсутствуют ненулевые обобщенные нильпотенты. Однако, если ||а² || = ||а||² для любого а ∈ А, то Б. а. А коммутативна. Условие ||аb|| = ||bа|| для всех а, b ∈ А также достаточно для коммутативности (алгебры с единицей) А.

Алгебра А наз. алгеброй с инволюцией, если на A определена операция а → а*, удовлетворяющая условиям:

для всех а, b ∈ А, λ, μ ∈ ℂ ; отображение a → а* наз. инволюцией в А. Линейный функционал ψ на алгебре А с инволюцией наз. положительным, если ?№968ж(аа*) ≥ 0 для любого а ∈ А. При положительном линейном функционале ψ

|ψ (a)|² ≤ ψ (e)ψ (aa*)

для всех а ∈ А. Если инволюция в А изометрична, т. е. ||a*|| = ||a|| для всех а ∈ А, то

ψ (a*a) ≤ ψ (е)|а*а|.

Б. а. с инволюцией А наз. вполне симметричной, если e + а*а ∈ ε (A) для любого а ∈ А; А наз. С*-алгеброй (вполне регулярной алгеброй), если ||a*a|| = ||a||² для любого а ∈ А. Всякая С*-алгебра вполне симметрична. Примерами вполне симметричных алгебр служат групповые алгебры L¹ (G) коммутативных, или компактных, групп. Примерами С*-алгебр служат алгебры С(X) (инволюция в С(X) определяется как переход к комплексно сопряженной функции) и замкнутые подалгебры алгебры ограниченных линейных операторов в гильбертовом пространстве содержащие вместе с данным оператором сопряженный оператор (инволюция определяется как переход к сопряженному оператору). Любая С*-алгебра изометрически изоморфна (с сохранением инволюции) одной из таких алгебр (теорема Гельфанда-Наймарка). В частности, любая коммутативная С*-алгебра А изометрически изоморфна (с сохранением инволюции) одной из алгебр С(X) (это утверждение содержит теорему Стоуна-Вейерштрасса).

Элемент а Б. а. с инволюцией наз. эрмитовым, если а* = а. Для того ятобы Б. а. с инволюцией была С*-алгеброй, необходимо и достаточно выполнение условия ||е^ia || = 1 для всех эрмитовых элементов а. Если в Б. а. с инволюцией sup ||e^ia || < ∞ (верхняя грань по всем эрмитовым элементам), то такая алгебра топологически t-изоморфна С*-алгебре. Если в произвольной Б. а. ||е^ita || = 1 при всех действительных t для нек-рого элемента а, то ||а|| совпадает со спектральным радиусом, т. е. ||a|| = |a|.

Теория Б. а. (в особенности коммутативных Б. а.) имеет многочисленные приложения в различных областях функционального анализа и ряде других математич. дисциплин.

Лит. : [1] Бурбаки Н., Спектральная теория, пер. с франц., М., 1972; [2] Гамелин Т. В., Равномерные алгебры, пер. с англ., М., 1973; [3] Ганнинг Р., Росси X., Аналитические функции многих комплексных переменных, пер. с англ., М., 1969; [4] Гельфанд И. М., «Матем. сб. », 1941, т. 9 (51), с. 3-24; [5] Глисон А., «Математика», 1961, т. 5, в. 2, с. 161-6; [6] Гофман К., Банаховы пространства аналитических функций, пер. с англ., М., 1963; [7] Горин Е. А., «Матем. заметки», 1967, т. 1, № 2, с. 173-78; [8] Данфорд Н., Шварц Дж.-Т., Линейные операторы, пер. с англ., т. 2, М., 1966; [9] Zelаzkо W., Algebry Banacha, Warsz., 1968; [10] Капланский И., «Математика», 1959, т. 3, в. 5, с. 91-115; [11] Люмис Л. X., Введение в абстрактный гармонический анализ, пер. с англ., М., 1956; [12] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [13] Некоторые вопросы теории приближений, сб. пер. с англ., М., 1963; [14] Rickart С. Е., General theory of Banach algebras, N. Y., 1960; [15] Ройден X. Л., «Математика», 1965, т. 9, в. 2, с. 98-114; [16] Фелпс Р., Лекции о теоремах Шоке, пер. с англ., М., 1968; [17] Xилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., М., 1962.

Е. А. Горин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.