БАНАХА-ШТЕЙНХАУЗА ТЕОРЕМА

Расстановка ударений: БАНА`ХА-ШТЕЙНХА`УЗА ТЕОРЕ`МА

БАНАХА-ШТЕЙНХАУЗА ТЕОРЕМА - общее название ряда результатов о топологич. свойствах пространства непрерывных линейных отображений одного линейного топология, пространства в другое. Пусть Е, F - локально выпуклые линейные топологич. пространства, где Е - бочечное пространство, или Е, F - линейные топология, пространства, причем Е - Бэра пространство; тогда: 1) любое ограниченное в топологии простой сходимости подмножество пространства L(E, F) непрерывных линейных отображений пространства Е в F равностепенно непрерывно (принцип равномерной ограниченности), 2) если фильтр F в пространстве L(E, F) содержит множество, ограниченное в топологии простой сходимости, и сходится в топологии простой сходимости к нек-рому отображению и пространства Е в F, то v - непрерывное линейное отображение Е в F, и фильтр F сходится к v равномерно на каждом компактном подмножестве пространства Е (см. [2, 3]).

Этот общий результат позволяет уточнить классич. результаты С. Банаха и X. Штейнхауза (см. [1]): пусть Е, F - банаховы пространства, М - подмножество второй категории в Е; тогда: 1) если H ⊂ L{E, F) и sup {||u(x)||, u ∈ Н} конечен для всех х ∈ М, то sup {||u||, x ∈ H} < ∞, 2) если u_n - последовательность непрерывных линейных отображений Е в F и последовательность u_n (х) сходится в F для всех х ∈ М, то u_n сходится к непрерывному линейному отображению v пространства Е в F равномерно на любом компактном подмножестве пространства Е.

Лит. : [1] Banach S., Steinhaus Н., «Fundam. math. », 1927, t. 9, p. 50-61; [2] Буpбаки Н., Топологические векторные пространства, пер. с франц., М., 1959; [3] Шефер X., Топологические векторные пространства, пер. с англ., М., 1971.

А. И. Штерн.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.