НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО

Расстановка ударений: АФФИ`ННОЕ ПРОСТРА`НСТВО

АФФИННОЕ ПРОСТРАНСТВО над полем k - множество А (элементы к-рого наз. точками А. п.), к-рому сопоставлены векторное пространство L над k (наз. пространством присоединенным к А) и отображение множества А × А в пространство L (образ элемента (а, b) ∈ А × А обозначается и наз. вектором с началом а и концом b), обладающее свойствами:

для любой фиксированной точки а отображение x → , х ∈ А, является биекцией А на L,

для любых точек а, b, с ∈ А выполняется соотношение Шаля:

Размерностью А. п. А наз. размерность L. Точка а ∈ А и вектор l ∈ L определяют другую точку, обозначаемую а + l, т. е. аддитивная группа векторов пространства L транзитивно и свободно действует на А. п., соответствующем L.

Примеры. 1) Множество векторов пространства L является А. п. A (L), присоединенное к нему пространство совпадает с L. В частности, поле скаляров есть А. п. размерности 1. Если L = kn, то А (кn) наз. n-мерным координатным А. п. над полем k, точки его a = (a1, ..., an) и b = (b1, ..., bn) определяют вектор = (b1 - a1, ..., bn - an).

2) Дополнение к любой гиперплоскости в проективном пространстве над полем k является А. п.

3) Множество решений системы линейных (алгебраических или дифференциальных) уравнений является А. п., присоединенным к к-рому является пространство решений соответствующей однородной системы уравнений.

Подмножество А' А. п. А наз. аффинным подпространством (или линейным многообразием) в А, если множество векторов , а, b ∈ А образует подпространство пространства L. Каждое аффинное подпространство А' ⊂ А имеет вид a + L' = {a + l | l ∈ L'}, где L' - нек-рое подпространство в L, а а - произвольный элемент нз А'.

Отображение f: А1 → А2 А. п. А1 в А2 наз. аффинным, если существует линейное отображение присоединенных векторных пространств φ : L1 → L2 такое, что f(а + l) = f(а) + φ (l) для любых а ∈ А1, l ∈ L1, Биективное аффинное отображение наз. аффинным изоморфизмом. Все А. п. одинаковой размерности аффинно изоморфны между собой.

Аффинные изоморфизмы А. п. А в себя образуют группу, наз. аффинной группой А. п. А и обозначаемую Aff (А). Аффинная группа А. п. А (kn) обозначается Affn (k). Каждый элемент f ∈ Affn (k) задается формулой

где

aji - обратимая матрица. Аффинная группа Aff(A) содержит инвариантную подгруппу, наз. подгруппой параллельных переносов, состоящую из отображений f: А → А, для к-рых отображение φ : является тождественным. Эта группа изоморфна аддитивной группе векторов пространства L. Отображение →φ определяет сюръективный гомоморфизм Aff (А) в общую линейную группу GL, ядром к-рого является подгруппа параллельных переносов. Если L - евклидово пространство, то прообраз ортогональной группы наз. подгруппой евклидовых движений. Прообраз специальной линейной группы SGL наз. экв и аффинной подгруппой (см. Аффинная уиимодулярная группа). Подгруппа Ga ⊂ Affn (A), состоящая из отображений f: А → А таких, что f(а + l) = а + φ (l) для нек-рого а ∈ А и любых l ∈ L, наз. центроаффинной подгруппой, она изоморфна общей линейной группе GL пространства L.

В алгебраич. геометрии А. п. также наз. аффинные алгебраические множества, аффинные многообразия или аффинные схемы специального вида. Каждое конечномерное А. п. можно, в свою очередь, снабдить структурой аффинного алгебраич. множества, снабженного топологией Зариского.

Аналогично строится А. п., ассоциированное с векторным пространством над телом k.

Лит. : [1] Бурбаки Н., Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра, пер. с франц., М., 1962.

И. В. Долгачев, А. П. Широков.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru