АФФИННОЕ МНОГООБРАЗИЕ

Расстановка ударений: АФФИ`ННОЕ МНОГООБРА`ЗИЕ

АФФИННОЕ МНОГООБРАЗИЕ, аффинное алгебраическое многообразие, - обобщение понятия аффинного алгебраического множества. А. м. есть приведенная аффинная схема X конечного типа над полем k, т. е. X = Spec А, где А - коммутативная k-алгебра конечного типа без нильпотентных элементов. А. м. X = Spec k[T₁, ..., T_n ], где k[T₁, ..., T_n ] - кольцо многочленов над полем k, наз. аффинным пространством над k и обозначается Аⁿ_k . Аффинная схема является А. м. тогда и только тогда, когда она изоморфна приведенной замкнутой подсхеме аффинного пространства. Каждая система образующих x₁, ..., x_n k-алгебры А определяет сюръективный гомоморфизм φ : k[T₁, ..., T_n ] → А, определяемый формулой φ (T_i) = x_i . Пусть k¯-алгебраич. замыкание поля k. Подмножество множества k¯ⁿ, состоящее из общих нулей всех многочленов идеала ker φ, является аффинным алгебраич. множеством над полем k. Координатное кольцо такого аффинного алгебраич. множества изоморфно кольцу А. В свою очередь каждое аффинное алгебраич. множество X над полем k определяет А. м. Spec k[X], где k[X] - координатное кольцо X. При этом множество точек А. м. находится во взаимно однозначном соответствии с неприводимыми подмногообразиями соответствующего аффинного алгебраич. множества.

С каждым А. м. X = Spec А связан функтор на категории k-алгебр, определяемый соответствием

В случае, когда В = k¯ (соответственно В = k), элементы множества X(k¯) (соответственно X(k)) наз. геометрическими (соответственно рациональными) точками А. м. А. Множество X(k¯) находится в биективном соответствии с множеством максимальных идеалов Specm (А) кольца А, а также с множеством точек любого аффинного алгебраич. множества V, координатное кольцо к-рого изоморфно А. При этом спектральная топология в пространстве X индуцирует на всюду плотном подмножестве Specm (А) топологию, к-рая соответствует топологии Зариского на V.

И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.