АФФИННАЯ СХЕМА

Расстановка ударений: АФФИ`ННАЯ СХЕ`МА

АФФИННАЯ СХЕМА - обобщение понятия аффинного многообразия, играющее роль локального объекта в теории схем. Пусть А - коммутативное кольцо с единицей. Аффинная схема состоит из топологич. пространства Spec А и пучка колец Ã на Spec А. При этом Spec А есть множество всех простых идеалов кольца А (называемых точками аффинной схемы), наделенное Зариского топологией (или, что то же, спектральной топологией), в к-рой базис открытых множеств составляют подмножества D(f) = { ∈ Spec A, f ∈ }, когда f пробегает элементы кольца А. Пучок локальных колец Ã определяется условием Г(D(f), Ã) = = А_f, где A_f - кольцо частных кольца A относительно мультипликативной системы {fⁿ}_{n ≥ 0} .

А. с. введены А. Гротендиком [1] при построении теории схем. Схема есть окольцованное пространство, локально изоморфное А. с.

А. с. Spec A наз. нётеровой А. с. (соответственно целостной, приведенной, нормальной, регулярной), если кольцо A нётерово (соответственно целостно, без нильпотентов, целозамкнуто, регулярно). А. с. наз. связной: (соответственно неприводимой, дискретной, квазикомпактной), если таковым является топологич. пространство Spec A. Пространство Spec A А. с. всегда квазикомпактно.

А. с. образуют категорию, если морфизмами А. с. считать морфизмы этих схем как локально окольцованных пространств. Каждый гомоморфизм колец φ : А → В определяет морфизм А. с: (Spec В, B̃) → (Spec A, AÃ), состоящий из непрерывного отображения ^a φ : Spec B → Spec А (^a φ () = φ^{- 1} (р) для ∈ Spec В) и гомоморфизма пучков колец φ̃ : Ã →^a φ_* (B̃), переводящего сечение a/fⁿ пучка Ã над множеством D(f) в сечение φ (а)/φ (fⁿ). Морфизмы произвольной схемы (X, _X) в А. с. (Spec А, Ã) (называемые также X-значными точками схемы Spec A) взаимно однозначно соответствуют гомоморфизмам колец A → Г(X, _X); тем самым сопоставление A↦ (Spec А, Ã) является контравариантным функтором из категории коммутативных колец с единицей в категорию А. с., устанавливающим антиэквивалентность этих категорий. В частности, в категории А. с. существуют конечные прямые суммы и расслоенные произведения, двойственные конструкциям прямой суммы и тензорного произведения колец. Морфизмы А. с, соответствующие сюръективным гомоморфизмам колец, наз. замкнутыми вложениями А. с.

Наиболее важными примерами А. с. являются аффинные многообразия; другими примерами служат аффинные групповые схемы.

Подобно тому, как строится пучок Ã, для любого A-модуля М может быть построен пучок Ã-модулей M̃ на Spec А, для к-рого

Такие пучки являются квазикогерентными пучками. Категория А-модулей эквивалентна категории квазикогерентных пучков Ã-модулей на Spec А; проективным модулям соответствуют локально свободные пучки. Когомологий квазикогерентпых пучков на А. с. описываются теоремой Серра:

Обращение этой теоремы - критерий аффинности Серра - утверждает, что если (X, _X) - квазикомпактная отделимая схема и H¹ (X, F) = 0 для любого квазикогерентного пучка _X - модулей F, то X есть А. с. Существуют и другие критерии аффинности (см. [1], [4]).

Лит. : [1] Grothendieck A., Eléments de géométrie algébrique, t. 1, P., 1960; [2] Дьедонне Ж., «Математика», 1965, т. 9, № 1, с. 54-126; [3] Манин Ю. И., Лекции по алгебраической геометрии, ч. 1, М., 1970; [4] Goodman J., Hartshorne R., «Amer. J. Math. », 1969, v. 91, № 1, p. 258-66.

В. И. Данилов, И. В. Долгачев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.