АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ

Расстановка ударений: АСИМПТОТИ`ЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕ`НИЕ

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ функции f(x) - такой ряд

что при любом целом N ≥ 0

(1)

при х → х₀, где {φ_n (x)} - нек-рая заданная асимптотическая последовательность при х → х₀ . В этом случае пишется также

(2)

Если ясно, о какой последовательности {φ_n (x)} идет речь, то в (2) она не указывается.

Разложение (2) наз. асимптотическим разложением в смысле Эрдейи [3]. Разложение вида

(3)

где а_n - постоянные, наз. асимптотическим разложением в смысле Пуанкаре. При данной асимптотич. последовательности функций {φ_n (x)} А. р. (3), в отличие от ее разложения (2), однозначно определяется самой функцией f(x). Если (1) имеет место для конечного числа значений N = 0, 1, ..., N₀ < ∞, то говорят об А. р. с точностью до o(φ_N0 (x)).

Ряды

(*)

наз. асимптотическими рядами. Как правило, такие ряды расходятся. Наиболее употребительны асимптотические степенные ряды; соответствующие им А. р. являются А. р. в смысле Пуанкаре.

Пример А. р. в смысле Эрдейи:

где J_ν (х) - функция Бесселя,

Понятия А. р. функции и асимптотический ряд были введены А. Пуанкаре (см. [1]) в связи с задачами небесной механики. Частные случаи А. р. были открыты и применялись еще в 18 в. (см. [2]). Асимптотич. разложения и ряды играют большую роль в различных задачах математики, механики и физики. Это вызвано тем, что многие задачи нельзя решить точно, но удается получить асимптотич. разложения решений. Кроме того, численные методы часто отказывают именно в тех случаях, когда А. р. удается сравнительно просто найти.

Лит. : [1] Pоinсаré Н., «Acta Math. », 1886, v. 8, p. 295-344; [2] Уиттeкep Э. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 1, М., 1963; [3] Еrdélуi A., Wyman М., «Аrсh. Ration. Mech. and Analysis», 1963, v. 14, p. 217-60.

М. В. Федорюк.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.