АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СТЕПЕННОЙ РЯД

Расстановка ударений: АСИМПТОТИ`ЧЕСКИЙ СТЕПЕННО`Й РЯ`Д

АСИМПТОТИЧЕСКИЙ СТЕПЕННОЙ РЯД - асимптотический ряд по последовательности

{x^-n} (x→∞)

или по последовательности

{(x - x₀)ⁿ} (x→x₀)

(см. Асимптотическое разложение функции). А. с. р. можно складывать, перемножать, делить и интегрировать точно так же, как и сходящиеся степенные ряды.

Пусть функции f(x) и g(x) имеют при х → ∞ асимптотич. разложения:

Тогда

(с_n, d_n вычисляются по тем же правилам, что и для сходящихся степенных рядов);

4) если функция f(x) непрерывна при x > a > 0, то

5) А. с. р. не всегда можно дифференцировать, однако, если f(x) имеет непрерывную производную, к-рая разлагается в А. с. р., то

Примеры А. с. р. :

где H₀⁽¹⁾ (x) - Ганкеля функция нулевого порядка (приведенные А. с. р. расходятся при всех х).

Аналогичные утверждения имеют место и для функций комплексного переменного z при z → ∞ в окрестности бесконечно удаленной точки или внутри угла. В случае комплексного переменного утверждение 5) имеет следующий вид: если функция f(z) регулярна в области D : {|z| > a, α < |arg z| < α } и если

равномерно по arg z при |z| → ∞ в любом замкнутом угле, содержащемся в D, то

равномерно по arg z при |z| → ∞ в любом замкнутом угле, содержащемся в D.

Лит. : (1) Копсон Э. Т., Асимптотические разложения пер. с англ., М., 1966; (2) Эрдейи А., Асимптотические разложения, пер. с англ., М., 1962; (3) Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. П., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., т. 1 М., 1962.

М. И. Шабунин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.