![]() |
АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯРасстановка ударений: АСИМПТОТИ`ЧЕСКАЯ ЛИ`НИЯ АСИМПТОТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ - линия Г на регулярной поверхности F, нормальная кривизна к-рой вдоль Г равна нулю; А. л. определяется дифференциальным уравнением: ![]() где II - вторая квадратичная форма поверхности. Соприкасающаяся плоскость А. л. Г (там, где она существует) совпадает с касательной плоскостью к F (в точках Г); при этом квадрат кручения А. л. равен модулю гауссовой кривизны А поверхности F (теорема Бельтрами-Эннепера). Прямолинейный отрезок l ∈ F (напр., отрезок образующей линейчатой поверхности) всегда является А. л. Если Г - параболич. кривая (напр., параллель тора, разделяющая области с гауссовой кривизной разных знаков), то она будет А. л. Другим примером является ребро возврата на псевдосфере. Непараболич. кривая, на к-рой K = 0, представляет собой ребро возврата семейства А. л. Через каждую точку параболич. области (где K = 0, но II ≢ 0) проходит единственная А. л., совпадающая с прямолинейной образующей. Через каждую точку гиперболич. области (где K < 0) проходят две и только две А. л., составляющие так наз. асимптотическую сеть, играющую важную роль в исследовании пространственной формы отрицательной кривизны поверхностей. Так, напр., на полной поверхности эта сеть гомеоморфна декартовой сети на плоскости, если ![]() На поверхностях постоянной отрицательной кривизны асимптотич. сеть является чебышевской сетью, причем площадь S четырехугольника, образованного А. л., пропорциональна избытку суммы его внутренних углов αi над 2π ![]() (формула Хаццидакиса). При проективном преобразовании π пространства А. л. поверхности F переходят в А. л. преобразованной поверхности π (F). Аналогично определяются А. л. и на поверхностях трехмерного риманова пространства. Известны различные пути обобщений понятия А. л. на многообразиях, погруженных в многомерное пространство; наиболее употребительное из них использует понятие второй квадратичной формы, ассоциированной с определенным нормальным вектором. Лит. : [1] Погорелов А. В., Дифференциальная геометрия, 5 изд., М., 1969; [2] Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956. М. И. Войцеховский. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |