АСИМПТОТА

Расстановка ударений: АСИМПТО`ТА

АСИМПТОТА кривой y = f(x), имеющей бесконечную ветвь, - прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (х, f(х)) кривой до этой прямой стремится к нулю при движении ее вдоль ветви к бесконечности. А. может быть вертикальной или наклонной. Вертикальная А. имеет уравнение х = а, причем f(х → + ∞ (- ∞) при х → а (односторонне). Для существования наклонной А., имеющей уравнение y = kx + l, необходимо и достаточно, чтобы существовали пределы

при x → + ∞ (или при х → - ∞).

Аналогичные формулы получаются и при параметрич. задании кривой. В полярных координатах А. кривой r = r(φ), где r > 0, с углом наклона α, определяется условием r → + ∞ при φ → α ;. Расстояние р этой А. от начала координат вычисляется по формуле:

p = lim |t|r(α + t) при t → + 0 (или t → - 0)

Если вдоль бесконечной ветви кривой существует предельное положение касательной, то оно есть А. Обратное не всегда верно. Напр., кривая имеет при х → ±∞ асимптоту у = 0, хотя предельного положения касательной не существует. Среди кривых 2-го порядка А. имеют только гиперболы. А. гиперболы определяются уравнениями . Наклонная А. дает простое - линейное по х-асимптотическое приближение функции

при х → + ∞ (или при х → - ∞).

Лит. : [1] Рашевский П. К., Курс дифференциальной геометрии, 4 изд., М., 1956; [2] Кудрявцев Л. Д., Математический анализ, т. 1, 2 изд., М., 1973.

Л. П. Купцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.