АРЦЕЛА ВАРИАЦИЯ

Расстановка ударений: АРЦЕ`ЛА ВАРИА`ЦИЯ

АРЦЕЛА ВАРИАЦИЯ - одна из числовых характеристик функции нескольких переменных, к-рую можно рассматривать как многомерный аналог вариации функции одного переменного. Пусть действительнозначная функция f(x) = f(x₁, ..., x_n) задана на n-мерном параллелепипеде D_n = [a₁, b₁ ] ×... × [a_n, b_n ], n = 2, 3, ..., и G_n - класс всех таких непрерывных вектор-функций x(t) = (x₁ (t), ..., x_n (t))(0 ≤ t ≤ 1), что каждая функция x_k (t) не убывает на [0, 1], причем x_k (0) = a_k, x_k (1) = b_k, k = 1, 2, ..., n. Тогда

где П = {0 = t₀ < t₁ <... < t_m = 1} - произвольная система точек из [0, 1]. Это определение в случае n = 2 предложено Ч. Арцела [1] (см. также [2], с. 543). Если А(f, D_n) < ∞, то говорят, что функция f(x) имеет ограниченную (конечную) А. в. на D_n, а класс всех таких функций обозначается A(D_n). Для того чтобы функция f(x₁, ..., x_n) принадлежала классу A (D_n), необходимо и достаточно, чтобы имело место разложение f(x₁, ..., x_n) = f₁ (x₁, ..., x_n) - f₂ (x₁, ..., x_n), где f₁ и f₂ - конечные неубывающие на D_n функции. При этом функция f(х) наз. неубывающей на D_n,

при a_k ≤ x'_k < x''_k ≤ b_k (k = 1, ..., n). Класс A(D_n) содержит в себе класс функций, имеющих ограниченную Харди вариацию на D_n .

Лит. : [1] Arzelá С., «Rend. Accad. sci Bologna», 1904-1905, t. 9, pt 2, p. 100-07; [2] Hahn H., Theorie der reellen Funktionen, Bd 1, В., 1921.

Б. И. Голубов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.