АРХИМЕДОВА ГРУППА

Расстановка ударений: АРХИМЕ`ДОВА ГРУ`ППА

АРХИМЕДОВА ГРУППА - частично упорядоченная группа, в к-рой выполняется аксиома Архимеда: из того, что аⁿ < B для всех целых n (a, b - элементы А. г.), следует, что а - единица группы (в аддитивной записи: из nа < b для всех целых n следует, что а = 0). Для линейно упорядоченных А. г. существует следующее описание (теорема Гёльдера): линейно упорядоченная группа тогда и только тогда архимедова, когда она изоморфна нек-рой подгруппе аддитивной группы действительных чисел с естественным порядком. Таким образом, аддитивная группа всех действительных чисел является, в нек-ром смысле, самой большой линейно упорядоченной А. г. Всякая линейно упорядоченная А. г. коммутативна. Линейно упорядоченная группа без нетривиальных выпуклых подгрупп - архимедова.

Лит. : [1] Биркгоф Г., Теория структур, пер. с англ., М., 1952; [2] Кокорин А. И., Копытов В. М., Линейно упорядоченные группы, М., 1972; [3] Фукс Л., Частично упорядоченные алгебраические системы, пер. с англ., М., 1965.

А. И. Кокорин, В. М. Копытов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.