НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

АРТИНОВО КОЛЬЦО

Расстановка ударений: АРТИ`НОВО КОЛЬЦО`

АРТИНОВО КОЛЬЦО, артиново справа кольцо, - кольцо, удовлетворяющее условию минимальности для правых идеалов, т. е. кольцо, в к-ром любое непустое частично упорядоченное по включению множество М правых идеалов имеет минимальный элемент (см. [1]) - такой правый идеал из М, к-рый не содержит строго никакого правого идеала из М. Другими словами, А. к. - это кольцо, являющееся правым артиновым модулем над самим собой. Кольцо А есть А. к. тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей правых идеалов, т. е. для любой убывающей последовательности правых идеалов B1 ⊇ B2 ⊇... ⊇ Bn ⊇... кольца А существует такое натуральное число m, что Bm = Bm + 1 = Bm + 2 =.... Аналогично определяется артиново слева кольцо.

Всякое ассоциативное А. к. с единицей нётерово справа (см. Нётерово кольцо). Всякая конечномерная алгебра над полем является А. к. Наиболее полно изучены свойства А. к. в классе альтернативных колец и особенно в классе ассоциативных колец (см. Альтернативные кольца и алгебры, Ассоциативные кольца и алгебры). Джекобсона радикал ассоциативного А. к. нильпотентен и содержит всякий односторонний нильидеал. Кольцо А тогда и только тогда является простым ассоциативным А. к., когда оно изоморфно кольцу всех матриц нек-рого конечного порядка над нек-рым ассоциативным телом. В классе альтернативных колец каждое простое А. к. либо ассоциативно, либо есть Кэли-Диксона алгебра над своим центром, являющимся в этом случае полем. Строение ассоциативных А. к. с нулевым радикалом Джекобсона описано (см. Полупростое кольцо). Имеется вариант этой теоремы в случае альтернативных колец. Для ассоциативных колец с ненулевым радикалом Джекобсона развита достаточно далеко идущая структурная теория (см. [1], [2]). Весьма интенсивно изучается ряд классов А. к. - квазифробениусовы кольца, однородные кольца, сбалансированные кольца.

Лит. : [1] Artin E., Nesbitt С., Thrall R., Rings with Minimum condition, Michigan, 1944; [2] Джeкобcон H., Строение колец, пер. с англ., М., 1961; [3] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1965, М., 1967. с. 133-80; [4] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия. 1968, М., 1970, с. 9-56.

К. А. Жевлаков.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.








© Злыгостев Алексей Сергеевич, статьи, подборка материалов, оформление, разработка ПО 2001-2019
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru