АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РЯД

Расстановка ударений: АРИФМЕТИ`ЧЕСКИЙ РЯ`Д

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РЯД порядка m - последовательность значений многочлена степени m:

принимаемых им при последовательных целых, неотрицательных значениях переменной х(х = 0, 1, 2,...). Если m = 1, т. е. р(х) = а₀ + а₁ х, получается арифметич.

Рис. 1.

Рис. 2.

прогрессия с начальным членом а₀ и разностью а₁ . При р(х) = х2² или р(х) = х³ получаются последовательности квадратов или кубов целых чисел - частные случаи А. р. 2-го и 3-го порядков. Если составить ряд из разностей соседних членов А. р., затем для полученной последовательности разностей также образовать их разности (вторые разности), для вторых разностей образовать разности (третьи разности) и т. д., то на m-м этапе окажется, что все (m-ые) разности равны между собой. Обратно, если для нек-рой последовательности чисел ее m-ые разности равны между собой, то эта последовательность есть А. р. порядка m. Пользуясь этим свойством, можно строить А. р. различных порядков, отправляясь от их разностей. Напр., последовательность единиц: 1, 1, 1, ..., можно рассматривать как первые разности последовательности натуральных чисел: 1, 2, 3, как вторые разности последовательности треугольных чисел: 1, 3, 6, 10, ..., - как третьи разности последовательности тетраэдрических чисел: 1, 4, 10, 20, ..., и т. д. Названия этих чисел объясняются тем, что треугольные числа выражают числа шаров, уложенных в виде треугольника (рис. 1), а тетраэдрические - в виде тетраэдра (пирамиды) (рис. 2). Треугольные числа выражаются формулой , а тетраэдрические - формулой

Обобщением треугольных чисел являются k-угольные

Рис. 3.

Рис. 4.

или фигурные числа, игравшие важную роль на разных этапах развития арифметики. k-угольные числа имеют вид:

Они образуют А. р. 2-го порядка, с первым членом 1, вторым членом k и вторыми разностями k - 2. При k = 3 получаются треугольные числа, при k = 4 - квадратные (n²), при k = 5 - пентагональные (пятиугольные) и т. п. Названия эти поясняются на рис. 3 и 4, где числа шаров, расположенных в виде квадрата или пятиугольника, выражаются соответствующими квадратными или пентагональными числами. Относительно фигурных чисел справедлива следующая теорема, высказанная П. Ферма (P. Fermat) и доказанная впервые О. Коши (A. Cauchy): любое натуральное число можно представить в виде суммы не более, чем k k-угольных чисел.

Лит. : [1] Ван-дер-Варден Б. Л., Современная алгебра, пер. с нем., 2 изд., ч. 1, М. - Л., 1947; [2] Арнольд И В., Теоретическая арифметика, 2 изд., М., 1939.

БСЭ - 2.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.