|
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РОДРасстановка ударений: АРИФМЕТИ`ЧЕСКИЙ РО`Д АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РОД - численный инвариант алгебраических многообразий. Для произвольного проективного алгебраич. многообразия X (над полем k), все неприводимые компоненты к-рого имеют размерность n и к-рое определяется однородным идеалом I в кольце k [T1, ..., TN ], арифметический род рa (X) выражается через свободный член φ (I, 0) Гильберта многочлена φ (I, m) идеала I по формуле Это классич. определение восходит к Ф. Севери (F. Severi, см. [1]). В общем случае оно эквивалентно следующему: где - эйлерова характеристика многообразия X с коэффициентами в структурном пучке X . В такой форме определение А. р. переносится на любые полные алгебраич. многообразия, а также показывает инвариантность рa (Х) относительно бирегулярных отображений. В случае, когда X - неособое связное многообразие, а k = ℂ есть поле комплексных чисел, где gk (X) - размерность пространства регулярных дифференциальных k-форм на X. При n = 1, 2 такое определение было принято в школе итальянских геометров. Напр., если n = 1, то рa (Х) есть род кривой X; если n = 2, то где q - иррегулярность поверхности X, a pg - геометрический род поверхности X. Для любого дивизора D на нормальном многообразии X О. Зариским (О. Zariski, см. [1]) дано определение виртуального арифметического родa pa (D) как свободного члена многочлена Гильберта когерентного пучка X (D), соответствующего дивизору D. Если дивизоры D и D' алгебраически эквивалентны то Pa (D) = Pa (D'). А. р. есть бирациональный инвариант в случае поля к нулевой характеристики; в общем случае этот факт доказан (к 1977) лишь для размерности n ≤ 3. Лит. : [1] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] Xирцебрух Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с англ., М., 1973. И. В. Долгачев. Источники:
|
|
|||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |