НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РОД

Расстановка ударений: АРИФМЕТИ`ЧЕСКИЙ РО`Д

АРИФМЕТИЧЕСКИЙ РОД - численный инвариант алгебраических многообразий. Для произвольного проективного алгебраич. многообразия X (над полем k), все неприводимые компоненты к-рого имеют размерность n и к-рое определяется однородным идеалом I в кольце k [T1, ..., TN ], арифметический род рa (X) выражается через свободный член φ (I, 0) Гильберта многочлена φ (I, m) идеала I по формуле

Это классич. определение восходит к Ф. Севери (F. Severi, см. [1]). В общем случае оно эквивалентно следующему:

где

- эйлерова характеристика многообразия X с коэффициентами в структурном пучке X . В такой форме определение А. р. переносится на любые полные алгебраич. многообразия, а также показывает инвариантность рa (Х) относительно бирегулярных отображений. В случае, когда X - неособое связное многообразие, а k = ℂ есть поле комплексных чисел,

где gk (X) - размерность пространства регулярных дифференциальных k-форм на X. При n = 1, 2 такое определение было принято в школе итальянских геометров. Напр., если n = 1, то рa (Х) есть род кривой X; если n = 2, то

где q - иррегулярность поверхности X, a pg - геометрический род поверхности X.

Для любого дивизора D на нормальном многообразии X О. Зариским (О. Zariski, см. [1]) дано определение виртуального арифметического родa pa (D) как свободного члена многочлена Гильберта когерентного пучка X (D), соответствующего дивизору D. Если дивизоры D и D' алгебраически эквивалентны то

Pa (D) = Pa (D').

А. р. есть бирациональный инвариант в случае поля к нулевой характеристики; в общем случае этот факт доказан (к 1977) лишь для размерности n ≤ 3.

Лит. : [1] Бальдассари М., Алгебраические многообразия, пер. с англ., М., 1961; [2] Xирцебрух Ф., Топологические методы в алгебраической геометрии, пер. с англ., М., 1973.

И. В. Долгачев.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru