АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

Расстановка ударений: АРИФМЕТИ`ЧЕСКАЯ ФУ`НКЦИЯ

АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ, теоретико-числовая функция, - комплекснозначная функция, областью определения к-рой может служить одно из множеств: множество натуральных чисел, множество целых рациональных чисел, множество целых идеалов фиксированного алгебраич. числового поля, решетка в многомерном координатном пространстве и т. п. Это - А. ф. в широком смысле. Однако часто под А. ф. понимается функция указанного типа, обладающая нек-рыми специальными арифметич. свойствами. Наиболее употребительные А. ф. имеют традиционные символич. обозначения: φ (n) - Эйлера функция, d(n) или τ (n) - делителей число, μ (n) - Мёбиуса функция, Λ (n) - Мангольдта функция, σ (n) - сумма делителей числа n. К А. ф. относят также целую часть числа [х] и дробную часть числа {х}. Изучаются А. ф., выражающие число решений уравнения; напр., r(n) - число решений в целых числах х и у уравнения х² + у² = n в Гольдбаха проблеме: J(N) - число решений в простых числах уравнения N = p₁ + p₂ + p₃ . Другие А. ф. выражают количество чисел с к.-л. условиями; напр., функция π (х) - число простых чисел, не превосходящих х, характеризует распределение простых чисел; π (х, q, l) - число не превосходящих х простых чисел в арифметич. прогрессии p = l (mod q). Со свойствами простых чисел связаны также Чебышева функции: θ (х) - сумма натуральных логарифмов простых чисел до x и ψ (х) = ∑_{n ≤ x} Λ (n).

В алгебраич. теории чисел рассматриваются обобщения названных А. ф. натурального аргумента. Напр., в алгебраич. поле К степени n для целого идеала вводится функция Эйлера φ () - число классов вычетов по идеалу , взаимно простых с .

А. ф. возникают и используются при изучении свойств чисел. Однако теория А. ф. представляет и самостоятельный интерес. Закономерность изменения А. ф. обычно не удается охарактеризовать простыми формулами - ищется асимптотика числовых функций. Так как многие А. ф. не монотонны, то большое значение имеет изучение средних значений функций. Важный класс А. ф. составляют мультипликативные арифметические функции и аддитивные арифметические функции. В вероятностной теории чисел изучается вопрос о распределении их значений [5].

Лит. : [1] Виноградов И. М., Основы теории чисел, 8 изд., М., 1972; [2] его же, Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [3] Xуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964; [4] Чандрасекхаран К., Арифметические функции, пер. с англ., М., 1975; [5] Кубилюс Й., Вероятностные методы в теории чисел, 2 изд., Вильнюс, 1962.

Н. И. Климов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.