АРГУМЕНТА ПРИНЦИП

Расстановка ударений: АРГУМЕ`НТА ПРИ`НЦИП

АРГУМЕНТА ПРИНЦИП - геометрический принцип теории функций комплексного переменного, формулируемый следующим образом: пусть D - ограниченная область на комплексной плоскости ℂ. причем граница ∂D является непрерывной кривой, ориентация к-рой согласована с D; если функция w = f(z) мероморфна в окрестности D и на ∂D не имеет нулей и полюсов, то разность между числом ее нулей N и числом полюсов Р в D (с учетом кратностей) равна деленному на 2π приращению аргумента f при положительном обходе ∂D, т. е.

(*)

где arg f обозначает какую-либо непрерывную ветвь Arg f на кривой ∂D. Выражение справа равно индексу ind₀ f(∂D) кривой f(∂D) относительно точки w = 0.

А. п. используется для доказательства различных утверждений о нулях голоморфных функций (основная теорема алгебры многочленов, теорема Гурвица о нулях и т. п.). Из А. п. следуют такие важные геометрич. принципы теории функций, как сохранения области принцип, максимума модуля принцип, теорема о локальном обращении голоморфной функции. Во многих вопросах А. п. используется неявно в виде его следствия - Руше теоремы.

Имеются обобщения А. п. Условие мероморфности f в окрестности D можно заменить следующим: f имеет в D конечное число нулей и полюсов и непрерывно продолжается на ∂D. Вместо комплексной плоскости можно рассматривать произвольную риманову поверхность, при этом ограниченность D заменяется условием, что D¯ - компакт. Из А. п. для римановых поверхностей следует, что на компактной римановой поверхности число нулей любой мероморфной функции, не равной тождественно нулю, равно числу полюсов. А. п. в областях на С эквивалентен теореме о сумме логарифмических вычетов. Поэтому обобщенным А. п. иногда называют следующее утверждение. Если f мероморфна в окрестности области D, ограниченной конечным числом непрерывных кривых, и f на ∂D не имеет нулей и полюсов, то для любой функции φ, голоморфной в окрестности D, справедливо равенство:

где первая сумма распространяется на все нули, а вторая - на все полюсы f в D. Имеется топологическое обобщение А. п. (*): А. п. справедлив для любых открытых локально конечнократных отображений f : D → ℂ¯, непрерывно продолжающихся на ∂D и таких, что 0, ∞ ∉ f(∂D).

Аналогом А. п. для многих комплексных переменных является, напр., следующая теорема: пусть D - ограниченная область в ℂⁿ с жордановой границей ∂D и f : D¯ → ℂⁿ есть отображение, голоморфное в окрестности D¯ и такое, что 0 ∉ f(∂D); тогда число прообразов 0 в D (с учетом кратностей) равно ind₀ f(∂D).

Лит. : [1] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965; [2] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, 2 изд., ч. 2, М., 1976.

Е. М. Чирка.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.