АППРОКСИМАТИВНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ

Расстановка ударений: АППРОКСИМАТИ`ВНАЯ ПРОИЗВО`ДНАЯ

АППРОКСИМАТИВНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ - обобщение понятия производной, в к-ром обычный предел заменяется аппроксимативным пределом. Если для функции f(x) действительного переменного х существует

то он наз. аппроксимативной производной функции f(x) в точке х₀ и обозначается f'_ap (x₀). В простейшем случае f(x) есть действительная функция (в более общем случае - вектор-функция). А. п. может быть как конечной, так и бесконечной. Для конечной А. п. справедливы классич. правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного функций; теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, не имеет места. Понятие А. п. введено А. Я. Хинчиным в 1916.

По аналогии с обычными производными числами определяются аппроксимативные производные числа: Λ_d (x₀) - верхнее правое, λ_d (x₀) - нижнее правое, Λ_g (x₀) - верхнее левое, λ_g (x₀) - нижнее левое; напр.,

Справедливы следующие теоремы Данжуа-Xинчина. Если действительная функция f(х) конечна и измерима по Лебегу на множестве Е, то почти в каждой точке этого множества либо f(x) имеет конечную А. п., либо

Если

- интеграл в смысле Данжуа-Хинчина, то F'_ap (x) = f(x) почти всюду в рассматриваемом промежутке (при этом обычная производная может не существовать на множестве положительной меры). Эта теорема объясняет роль А. п. в теории интеграла.

Существуют непрерывные функции, не имеющие ни обычной, ни А. п. во всех точках произвольно заданного промежутка.

Для функций нескольких действительных переменных рассматриваются аппроксимативные частные производные.

Лит. : [1] Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949.

Г. П. Толстов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.