АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ

Расстановка ударений: АНАЛИТИ`ЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕ`НИЕ

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ функции - доопределение функции f₀, определенной на нек-ром подмножестве Е комплексного многообразия М, до функции f, голоморфной в нек-рой области D ⊂ M, содержащей Е, такое, что сужение f|E = f₀ функции f на Е совпадает с f₀ . Отправным в теории А. п. является понятие (аналитического) элемента, т. е. пары (D, f), где D - область на М и f - голоморфная в D функция. Говорят, что элементы (D₀, f₀) и (D₁, f₁) составляют непосредственное А. п. друг друга через связную компоненту Δ множества D₀ ∩ D₁, если f₀ |Δ = f₁ f₀ . Элемент (D₀, f₀), по определению, аналитически продолжается в граничную точку ζ ∈ ∂D ⊂ M, если существует непосредственное А. п. (D₁, f₁) элемента (D₀, f₀) через Δ такое, что ζ ∈ Δ¯ ∩ D₁ . Максимальным (в М) А. п. (D₀, f₀) наз. элемент (D, f), аналитически продолжающий f₀ в область D ⊃ D₀, но не продолжаемый аналитически ни в одну граничную точку D. Максимальное А. п. (D₀, f₀) в М единственно, но не всегда существует. Для устранения этого недостатка вводятся области наложения над М (римановы поверхности в случае М = ℂ), к-рые строятся из элементов, аналитически продолжающих (D₀, f₀). Элемент (D, f) наз. А. п. элемента (D₀, f₀), если существует конечный набор элементов (D_i, f_i), i = 0, 1, ..., n, и связных компонент Δ_i - соответственно D_i ∩ D_{i + 1} таких, что (D_n, f_n) = (D, f) и (D_i, f_i), (D_{i + 1}, f_{i + 1}) являются непосредственными А. п. друг друга через Δ_i . Говорят, что голоморфная функция f₀, определенная первоначально в области D₀, аналитически продолжается в точку z ∈ M, если существует А. п. (D, f) элемента (D₀, f₀) такое, что z ∈ D. Среди элементов, продолжающих f₀ в точку z, вводится отношение эквивалентности: (D', f')~(D'', f''), если z ∈ D' ∩ D'' и f' = f'' в окрестности z. На множестве классов эквивалентности D_f (для всех возможных z) естественно вводится топология и комплексная структура области наложения над М. Функция f₀ естественно поднимается в D_f (значение на классе эквивалентности в z, содержащем (D₀, f₀), полагаем равным f₀ (z)), аналитически продолжается на всю D_f и в определенном смысле не продолжается ни в одну граничную точку D_f над М.

В случае, когда М есть комплексная плоскость ℂ или, более общо, комплексное пространство ℂⁿ, n ≥ 1, этот процесс А. п. описывается проще. Каноническим элементом наз. пара (D_a, f_a), где а ∈ ℂⁿ, f_a - степенной ряд с центром в точке а с непустой областью сходимости D_a . Канонич. элемент (D_b, f_b) наз. А. п. (D_a, f_a) вдоль пути γ : [0, 1] → ℂⁿ, если существует семейство канонич. элементов (D_t, f_t), 0 ≤ t ≤ 1, с центрами a_t = z(t) таких, что (D₀, f₀) = (D_a, f_a), (D₁, f₁) = (D_b, f_b) и для каждого t₀ ∈ γ элементы (D_t, f_t) являются непосредственными A. u. (D_t0, f_t0) для всех t, достаточно близких к t₀ . Семейство (D_t, f_t) на самом деле определяется однозначно. Если γ_τ, 0 ≤ τ ≤ 1, есть непрерывное семейство путей в ℂⁿ с общими концами а и b и если (D_a, f_a) аналитически продолжается вдоль каждого γ_τ то результат (D_b, f_b) не зависит от τ (монодромии теорема). Точками D_f в случае ℂⁿ являются канонич. элементы (D_a, f_a), получаемые посредством А. п. вдоль всевозможных путей в ℂⁿ ; f_a поднимается в D_f аналитически на всю D_f до голоморфной функции f, причем D_f есть область голоморфности f.

Описанный общий процесс А. п. практически малоэффективен, поэтому в анализе используется много специальных методов А. п. Сюда относятся различные аналитич. представления: интегралы, зависящие от параметра [интеграл типа Коши (см. Коши интеграл), Лапласа интеграл, интеграл Бореля (см. Бореля преобразование) и др.], замена переменного в степенном ряде, специальные способы суммирования степенных рядов [разложение Бореля в ряд многочленов, сходящийся в максимальном полигоне (см. Бореля метод суммирования), ряд Миттаг-Леффлера, сходящийся в максимальной звезде (см. Звезда элемента функции, Миттаг-Леффлера метод суммирования) и др.], принцип симметрии Римана-Шварца (см. Римана-Шварца принцип), функциональные и дифференциальные уравнения, определяющие функцию (напр., уравнение Г(z + 1) = zГ(z) для гамма-функции, условия периодичности, четности, симметрии и т. п.), аналитич. выражения через известные функции.

К теме А. п. относятся также исследования о связи между исходным элементом аналитич. функции (рядом Тейлора) и свойствами полной аналитической функции, порождаемой этим элементом (см. [1]); результаты об особых точках (критерии особых точек, Адамара теорема мультипликационная, Фабри теорема об отношении) и особых линиях (теоремы о лакунах и непродолжаемости за границу круга сходимости, напр. Адамара теорема о лакунах, Фабри теорема о лакунах и др.), теоремы о сверхсходимости и о связях А. п. степенного ряда со свойствами целой функции, определяющей его коэффициенты, вопросы мероморфного продолжения, мероморфное продолжение при помощи Паде аппроксимаций и др. К А. п. следует отнести и теоремы об устранении особенностей (устранение изолированной особенности ограниченной голоморфной функции, устранение спрямляемых разрезов при условии непрерывности и т. п.), а также большой класс теорем об одновременном продолжении голоморфных функций многих комплексных переменных. В ℂⁿ при n > 1 имеются области, из к-рых любая голоморфная функция продолжается в более широкую область (в одномерном случае такого явления нет). Поэтому важной задачей А. п. функций многих комплексных переменных является описание этих более широких областей - так наз. голоморфных расширений, напр. известны описания голоморфности оболочек для Гартогса областей, n-круговых и трубчатых областей, теоремы об устранении компактных особенностей и особенностей коразмерности ≥ 2, Боголюбова теорема «острие клина» и теорема В. С. Владимирова о С-выпуклой оболочке (см. [3]). Известно несколько эффективных методов построения голоморфного расширения областей (см. [3]).

А. п. функций действительного переменного сводится к А. п. голоморфных функций, т. к. для любой области G ⊂ ℝⁿ и любой функции f, аналитической в G, найдутся область D ⊂ ℂⁿ и голоморфная в D функция f̃ такие, что D ∩ ℝⁿ = G и f̃ |G = f.

Лит: [1] Бибербах Л., Аналитическое продолжение, пер. с нем., М., 1967; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968; [3] Владимиров В. С., Методы теории функций многих комплексных переменных, М., 1964.

Е. М. Чирка.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.