АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО

Расстановка ударений: АНАЛИТИ`ЧЕСКОЕ КОЛЬЦО`

АНАЛИТИЧЕСКОЕ КОЛЬЦО - кольцо ростков аналитич. функций в точке аналитического пространства. Более точно: пусть k есть поле с нетривиальным абсолютным значением (обычно предполагаемое полным) и k{{X₁, ..., X_n}} есть k-алгебра степенных рядов от X₁, ..., X_n с коэффициентами в k, сходящихся в нек-ром полицилиндре с центром (0, 0, ..., 0) (при этом каждый ряд сходится в своем полицилиндре). Аналитическим кольцом над k, или аналитической k-алгеброй, наз. факторкольцо кольца k{{X₁, ..., X_n}}; обычно k-поле R действительных или поле С комплексных чисел. Каждое А. к. является локальным, нётеровым и гензелевым кольцом; его поле вычетов изоморфно k. А. к. k{{X₁, ..., X_n}} будет регулярным (и факториальным) кольцом, а его пополнение в топологии, определяемой максимальным идеалом (X₁, ..., X_n), совпадает с кольцом формальных степенных рядов k[[X₁, ..., X_n ]]. Для А. к. верна нормализационная лемма: целостное А. к. является конечным расширением А. к. k{{X₁, ..., X_n}}. Вообще, алгебры, конечные над k{{X₁, ..., X_n}}, наз. квазианалитическими k-алгебрами. Если k-совершенное поле, то А. к. является превосходным кольцом.

Лит. : [1] Dieudonné J., Grothendieck А., «J. Algebra», 1967, v. 5, № 3, p. 305-24; [2] Mальгpанж Б., Идеалы дифференцируемых функций, пер. с англ., М., 1968; [3] Abhyankar S. S., Local analytic geometry, N. Y., 1964.

В. И. Данилов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.