АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ АБСТРАКТНАЯ

Расстановка ударений: АНАЛИТИ`ЧЕСКАЯ ФУ`НКЦИЯ АБСТРА`КТНАЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ АБСТРАКТНАЯ, аналитическое отображение банаховых пространств, - функция f(x), действующая из нек-рой области D банахова пространства X в банахово пространство Y и дифференцируемая по Фреше всюду в D, т. е. такая, что для каждой точки a ∈ D существует ограниченный линейный оператор δ f(а, ⋅) из X в Y, для к-рого выполняется соотношение:

где || ⋅ || обозначает норму в X или Y; δ f(a, h) наз. дифференциалом Фреше функции f в точке а.

Другой подход к понятию А. ф. а. возникает из дифференцируемости по Гато. Функция f(x) из D в Y наз. слабо аналитической в D, или дифференцируемой по Гато в D, если для каждого линейного непрерывного функционала Y' над пространством Y и каждого элемента h ∈ X комплексная функция y' (f(x + ξ h)) является голоморфной функцией комплексного переменного ξ в круге |ξ | < ρ (х, h), где ρ (х, H) = sup|ξ |, x + ξ h ∈ D. Всякая А. ф. а. в области D непрерывна и слабо аналитична в D. Обратное также верно, причем условие непрерывности можно заменить локальной ограниченностью или непрерывностью по Бэру.

Термин «А. ф. а. » иногда используется в более узком смысле, когда под ним понимается функция f(z) комплексного переменного z со значениями в банаховом или даже линейном локально выпуклом топологич. пространстве Y. В этом случае всякая слабо аналитич. функция f(z) в области D плоскости комплексного переменного ℂ является А. ф. а. Можно также сказать, что функция f(z) будет А. ф. а. в области D ⊂ ℂ тогда и только тогда, когда f(z) непрерывна в D и для любого простого замкнутого спрямляемого контура L ⊂ D интеграл ∫_L f(z)dz обращается в нуль. Для А. ф. a. f(z) комплексного переменного z справедлива интегральная формула Коши (см. Коши интеграл).

Пусть f(x) - слабо аналитич. функция в области D банахова пространства А. Тогда f(x + ξ h), как функция комплексного переменного ξ, имеет производные всех порядков в области D̃ = {ξ ; x + ξ h ∈ D}, h ∈ X, причем эти производные суть А. ф. а. из D̃ ; в Y. Если множество {x + ξ, h; |ξ | ≤ 1} принадлежит D, то

где ряд сходится по норме и

Функция у = Р(х) из X в Y наз. полиномом относительно переменного х степени не выше m, если для всех х, h ∈ X и для всех комплексных ξ

где функции P_ν (х, h) не зависят от ξ. Степень Р (х) точно равна m, если Р_m (х, h) ≠ 0. Степенным рядом наз. ряд вида где P_n (х) - однородные полиномы степени n такие, что Р_n (α х) = = αⁿ Р_n (х), х ∈ Х, для всех комплексных α. Всякий слабо сходящийся степенной ряд в области D сходится и по норме к нек-рой слабо аналитической функции f(x) в D, причем P_n (x) = δⁿ f(0, х)/n!, 0 ∈ D. Функция f(х) является А. ф. а. в D тогда и только тогда, когда в окрестности каждой точки a ∈ D она разлагается в степенной ряд

где все P_n (h) непрерывны в А.

На А. ф. а. переносятся с соответственными изменениями многие основные результаты классич. теории аналитич. функций такие, как максимума модуля принцип, теоремы единственности, Витали теорема, Лиувилля теорема и др. Множество всех А. ф. а. в области D образует линейное пространство.

Понятие А. ф. а. обобщается и на более широкие классы пространств X и Y, напр. на локально выпуклые топологич. пространства, банаховы пространства над произвольным полным нормированным полем и т. д.

Лит. : [1] Хилле Э., Филлипс Р., Функциональный анализ и полугруппы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962; [2] Эдвардс Р.-Э., Функциональный анализ. Теория и приложения, пер. с англ., М., 1969; [3] Шварц Л., Анализ, пер. с англ., т. 2, М., 1972.

А. А. Данилевич, Е. Д. Соломенцев.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.