![]() |
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛРасстановка ударений: АНАЛИТИ`ЧЕСКАЯ ТЕО`РИЯ ЧИ`СЕЛ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ - раздел теории чисел. В А. т. ч. включают вопросы распределения простых чисел, аддитивные проблемы, исследование поведения теоретико-числовых функций, теорию алгебраических и трансцендентных чисел. Распределение простых чисел. а) Одной из интереснейших и труднейших задач А. т. ч. является проблема распределения простых чисел (п. ч.). Первый результат в проблеме распределения п. ч. - теорема Евклида: п. ч. бесконечно много. Пусть π (х) - число п. ч., не превосходящих х; тогда теорема Евклида может быть сформулирована так: π (x) → + ∞ при х → ∞. Следующий шаг в этом вопросе был сделан П. Л. Чебышевым (1850). Он доказал, что: 1) Для величины π (х) выполняются неравенства ![]() причем a ≥ 1/2 ln 2, b ≤ 2ln 2. 2) Если существует предел π (х)ln х/х при х → + ∞, то этот предел равен 1. Проблему существования последнего предела решили в 1896 Ж. Адамар (J. Hadamard) и Ш. Ж. Ла Балле Пуссен (Ch. J. La Vallée Poussin), установив тем самым, что ![]() Ш. Ж. Ла Балле Пуссен доказал значительно больше, а именно: пусть ![]() тогда ![]() где α > 0 - абсолютная постоянная (см. Балле Пуссена теорема). При решении этой проблемы были использованы методы теории функций комплексного переменного. С проблемой оценки R(х) тесно связана проблема Поведения нек-рой функции комплексного переменного, к-рую впервые (1859) изучал Б. Риман (В. Riemann), и к-рая теперь наз. Римана дзета-функцией. Эта функция задается равенством ![]() При действительном s дзета-функцию рассматривал еще Л. Эйлер (L. Euler; 1737, 1749) и им было доказано тождество, к-рое указывает на связь ζ (s) с п. ч. : ![]() где произведение берется по всем п. ч. Функцию ζ (s), заданную рядом при σ > 1, можно аналитически продолжить на всю плоскость комплексного переменного; тогда получится функция, к-рая будет аналитической на всей плоскости комплексного переменного за исключением точки s = 1, где она имеет простой полюс с вычетом, равным 1. Проблема оценки остатка R(х) в асимптотич. формуле распределения п. ч. тесно связана с проблемой распределения нулей ζ (s) в «критической» полосе 0 ≤ σ ≤ 1. Б. Риманом была высказана гипотеза, что все нули ζ (s) в критич. полосе лежат на прямой σ = 1/2. Из этой гипотезы следует, что R(х) = O(√x lnx). Наоборот, из соотношения R(х) = O(х1/2 + ε), где ε > 0 - произвольно мало, следует справедливость Римана гипотезы о нулях ζ (s). Ж. Адамар и Ш. Ж. Ла Балле Пуссен получили асимптотич. закон распределения п. ч., доказав, что ζ (s) не имеет нулей при σ ≥ 1. Для величины R(х) доказаны так наз. Ω-теоремы: существуют такие две последовательности X→ + ∞, Y→ + ∞, что ![]() б) Другой проблемой теории распределения п. ч. является проблема оценки разности соседних п. ч., то есть числа Δ = рn - рn + 1, где рn есть n-е простое число. Здесь также первый общий результат принадлежит П. Л. Чебышеву, доказавшему, что между N и 2N, N ≥ 1, лежит п. ч. (Бертрана постулат). Оценка Δn тесно связана с функцией N(α, Т) - числом нулей ζ (s) в прямоугольнике 1/2 ≤ α ≤ σ ≤ 1, |t| ≤ T. Функция N(α, Т), в свою очередь, тесно связана с функцией ζ (1/2 + it). Существуют гипотезы: N(α, T) = O(T2(1 - α) + ε) (плотностная гипотеза) и ζ (1/2 + it) = O(tε) (Линделёфа гипотеза), ε > 0 - произвольно мало. Из гипотезы Римана о нулях ζ (s) следует гипотеза Линделёфа, из гипотезы Линделёфа - плотностная гипотеза, из к-рой следует, что Δn = O(n1/2 + ε). Доказано, что #916;n = O(nγ), где γ < 1. в) Вопрос о распределении п. ч. в арифметич прогрессиях nk + l, (k, l) = 1, n = 0, 1, 2, ..., приводит к вопросу о нулях специальных дзета-функций, так наз. L - рядов Дирихле, к-рые имеют вид: ![]() σ > 1, аn - коэффициенты, зависящие от n и от разности прогрессий k (характеры Дирихле по mod k). Проблемы распределения нулей L - рядов Дирихле и распределения п. ч. в арифметич. прогрессиях имеют свои специфич. особенности. Одно из самых крупных достижений в этом вопросе - следующее (К. Зигель; К. Siegel, 1935): пусть π (х, k, l) - число п. ч., не превосходящих х в прогрессии nk + l, n = 0, 1,.... Тогда ![]() где φ (k) - Эйлера функция и 1 ≤ k ≤ lnB x:, A и В - произвольные фиксированные числа. Сведения о распределении п. ч. в арифметич. прогрессиях существенно используются при решении аддитивных задач с п. ч. См. также Распределение простых чисел. Аддитивные проблемы. К аддитивным задачам А. т. ч. относятся проблемы, связанные с уравнениями в целых числах специального вида. Основными вопросами в этой проблематике являются следующие: доказать разрешимость заданного уравнения, найти асимптотич. формулу для числа решений заданного уравнения. Второй вопрос значительно труднее, и положительный ответ на него в нек-ром смысле дает ответ на первый вопрос. Классич. примерами аддитивных задач являются Варинга проблемы, Гольдбаха проблема, Харди-Литлвуда проблема. Проблема Варинга (1770) формулируется так: пусть Jk, n (N) - число решений в целых положительных числах x1, ..., xk уравнения ![]() (1) где N ≥ 1 - целое число. Доказать, что существует такое число k0 = k0 (n) (k0 зависит только от n), что Jk, n (N) ≥ 1 при k ≥ k0 . Другими словами, доказать, что любое число N ≥ 1 может быть представлено суммой n = х степеней целых положительных чисел, причем число слагаемых в этом представлении зависит только от nа. При n = 2 задача была решена Ж. Лагранжем (J. Lagrange, 1770), к-рый доказал, что каждое целое положительное число есть сумма четырех квадратов целых чисел. Первое общее решение проблемы Варинга дано Д. Гильбертом (D. Hilbert) в 1909. Позднее, в 1924 Г. X. Харди (G. Н. Hardy) и Дж. Литлвуд (J. Littlewood), применив свой круговой метод, доказали, что для Jk, n (N) при k ≥ n2n + 1 имеет место асимптотич. формула вида: ![]() (2) где γ > 0 и А = А(N) ≥ с > 0, с - абсолютная константа. А поскольку существует бесконечно много таких чисел N, к-рые для k = n не являются суммой n-х степеней, т. е. Jk, n (N) = 0, то возникла проблема установления истинного порядка величины к в зависимости от n, при к-ром разрешимо уравнение (1) и справедлива формула (2). Самые сильные результаты в этой проблеме принадлежат И. М. Виноградову, к-рый в 1934 доказал, что а) Jk, n (N) ≥ l при N ≥ N0 (n), если k ≥ 3n ln n + 11n; б) формула (2) имеет место при k ≥ 4n2 ln n. Другая классич. аддитивная проблема - проблема Гольдбаха-Эйлера (1742), состоит в следующем: пусть J(N) - число решений в простых числах p1, р2, р3, уравнения p1 + р2 + р3 = N; доказать, что при нечетном N ≥ 7 будет J(N) ≥ 1. В 1937 И. М. Виноградов доказал, что (асимптотич. формула для J(N)): ![]() где В = В(N) ≥ 0, 6. Отсюда, в частности, следует, что J(А) ≥ 1 при N ≥ N0, т. е. решение проблемы Гольдбаха-Эйлера для достаточно больших N. К аддитивным задачам относится проблема Харди-Литлвуда (1923); каждое N ≥ 2 может быть представлено в виде N = p + x2 + y2, где р - простое число, х, у - целые положительные числа. В 1958 Ю. В. Линник доказал, что если W(N) - число решений этого уравнения, то имеет место асимптотич. формула ![]() где σ = σ (N) ≥ c1 > 0, c1 - абсолютная константа. Отсюда следует, что W(N) ≥ 1 при N ≥ N0, т. е. решение проблемы Харди-Литлвуда для достаточно больших N. Имеется много аддитивных проблем, к-рые еще не решены и имеют возраст сотен и даже тысяч лет. К ним, напр., относятся вопросы о бесконечности числа п. ч. близнецов, т. е. пар п. ч. р и q таких, что |p - q| = 2, бинарная проблема Гольбаха-Эйлера, т. е., что каждое четное число ≥ 4 есть сумма двух п. ч., проблема существования бесконечного числа п. ч. в последовательности вида n2 + 1. См. также Аддитивные проблемы.
Поведение теоретико-числовых функций. В теории чисел имеется ряд классич. функций: φ (n) - число чисел, не превосходящих n и взаимно простых с n (функция Эйлера), τ (n) - число делителей числа n, μ (n) - Мёбиуса функция, Λ (n) - Мангольдта функция и др. Несмотря на то, что каждая из указанных функций ведет себя довольно «неправильно», средние значения этих функций уже поддаются изучению. Под средним значением функции f(n) понимают величину ![]() Тогда Ф(N) - число целых точек под гиперболой у = N/x. Таким образом, нахождение асимптотики Ф(N) - это проблема нахождения асимптотики числа целых точек в расширяющихся областях. К этой проблематике относится задача о числе целых точек в круге, т. е. задача о числе ![]() х, у - целые числа, и обобщения этих задач на произвольные области как на плоскости, так и в пространстве. П. Дирихле (1849) доказал, что ![]() где R1 (N) = O(√N), а К. Гаусс (1863), что G(N) = π N + R2 (N), где R2 (N) = O(√N). Задачи нахождения наилучших возможных оценок величин R1 (N) и R2 (N) стали наз. соответственно делителей проблемой и круга проблемой. Г. Ф. Вороной (1903) получил ![]() а В. Серпиньский (W. Sierpinski, 1906) - ![]() Кроме того, доказаны Ω-теоремы, а именно, что ![]() В настоящее время (1976) получены оценки R1 (N) и R2 (N) несколько лучше, чем у Г. Ф. Вороного и В. Серпиньского. Родственной рассмотренным задачам является задача об асимптотике суммы дробных долей различного вида функций или эквивалентная ей задача - вопрос о распределении дробных долей различного вида функций. Обозначим через {α } дробную часть числа α. Тогда если F(x) - вещественная функция, то возникает вопрос об асимптотике следующих двух функций: ![]() Если для любого 0 < γ ≤ 1 ![]() то говорят, что дробные доли функции F(n) распределены равномерно. Равномерность распределения дробных долей функции F(n) может быть выражена и в терминах асимптотики для T1 (N). Первые результаты о равномерном распределении дробных долей многочленов, критерии равномерного распределения были найдены Г. Вейлем (Н. Weyl, 1916). Наиболее точные результаты в этих вопросах получены И. М. Виноградовым. Им же найдены асимптотич. формулы для T1 (N) и T2 (N) и для тех случаев, когда n пробегает часть множества целых чисел, не превосходящих А, в частности множество п. ч. Относительно мало известно о распределении дробных долей функций, растущих быстрее многочленов. Напр., ничего не известно о распределении дробных долей функции (3/2)x . Алгебраические и трансцендентные числа. К теории алгебраических и трансцендентных чисел относятся вопросы, связанные с арифметич. природой тех или иных чисел или классов чисел. Рассмотрим многочлены с целыми коэффициентами и старшим коэффициентом 1; если α является корнем такого многочлена степени n и не является корнем многочлена меньшей степени, то оно наз. алгебраическим числом степени n; при n = 1 число α наз. рациональным. Если же α не является алгебраическим, то оно наз. трансцендентным числом. Алгебраич. чисел «много меньше», чем трансцендентных, «почти любое» число - трансцендентное, однако вопросы об алгебраичности или трансцендентности конкретных чисел очень трудны. Основной «характеристикой» алгебраич. числа является тот факт, что они «плохо» приближаются рациональными числами. Это утверждение (Лиувилля теорема, 1844) формулируется так: если α - алгебраич. число степени n, то ![]() где א = n, с = с(α) > 0 - константа, зависящая только от α, а р и q - произвольные целые числа. Следующий принципиальный шаг в этом вопросе сделал А. Туэ (A. Thue, 1909), идеи к-рого оказали большое влияние на всю теорию трансцендентных чисел. Он доказал, что א = n/2 + ε, ε > 0. Далее величина א уменьшалась многими учеными, и в 1955 К. Ф. Рот (К. F. Both) доказал, что א = 2 + ε (известно, что א ≥ 2). Недостатком этих теорем (исключая теорему Лиувилля) является то, что все они не эффективны, т. е. по α и ε нельзя вычислять с. Задачи о приближениях связаны с определенным классом задач из теории неопределенных уравнений. Так, А. Туэ из своей теоремы о приближении получил конечность числа целочисленных решений уравнения Fn (x, у) = а, где Fn (x, у) - форма с целыми коэффициентами степени n ≥ 3, а - целое число, отличное от нуля (эта теорема также не эффективна, т. е. нельзя указать границы для решений уравнения). Другое направление этой теории - доказательство трансцендентности чисел. Первые результаты здесь были получены в конце 19 в. Ш. Эрмит (Ch. Hermite, 1873) доказал трансцендентность числа е; Ф. Линдеман (F. Lindemann, 1882) - трансцендентность числа π, и тем самым была отрицательно решена проблема о квадратуре круга. А. О. Гельфонд и Т. Шнейдер (Т. Schneider) в 1934 доказали теорему о том, что αβ является трансцендентным числом, если α - алгебраич. число α ≠ 0, 1 и β - алгебраич. число степени ≥ 2 (седьмая проблема Гильберта). А. Бейкером (A. Baker) начиная с 1967 был получен ряд эффективных теорем об оценке линейных форм от логарифмов алгебраич. чисел. Следствием этих теорем явилось эффективное доказательство теоремы Туэ о числе представлений целого числа формой. Существует много вопросов в теории трансцендентных чисел, к-рые еще ждут своего решения. К ним относятся вопрос о трансцендентности константы Эйлера ![]() вопрос об алгебраич. зависимости чисел е и π и др. О некоторых методах в аналитической теории чисел. а) Метод комплексного интегрирования. Он порожден методом производящих функций Эйлера, к-рым часто решаются задачи элементарной математики. Основой служит следующая формула (разрывный множитель): ![]() где интеграл берется по прямой Re s = σ > 0, s = σ + it. Так, при Re s > 1 имеем ![]() и при x = N + 1/2 получаем ![]() Слева стоит Чебышева функция, асимптотика для к-рой эквивалентна проблеме о п. ч. Правая же часть, после выделения главного члена, будет тем меньше, чем левее удастся перенести контур интегрирования. См. также Комплексного интегрирования метод. б) Круговой метод (Харди-Литлвуда-Рамануджана). Он применяется в основном в аддитивных задачах. Рассмотрим схему применения и существо кругового метода в форме тригонометрич. сумм Виноградова на тернарной проблеме Гольдбаха-Эйлера. Пусть m - целое число. Тогда имеем (разрывный множитель): ![]() Поэтому ![]() I(N) - число решений в п. ч. уравнения p1 + p2 + p3 = N. Далее, интервал интегрирования (0, 1) разбивается на две части - основной интервал и дополнительный: к основному интервалу относят все интервалы вида ![]() где (a, q) = 1, 0 ≤ a ≤ q, q ≤ ln10 N, τ = N ln- 20 N; к дополнительному интервалу отнесем все остальные. Основные интервалы не пересекаются. Кроме того, для α из основного интервала, сумма S(α) «близка» к рациональной сумме S (a/q). Но при «малых» q, g ≤ ln N, известен закон распределения п. ч. в прогрессиях с разностью q (напр., теорема Зигеля), т. е. известна асимптотика сумм S (a/q). Так выделяется главный член проблемы, и в этом состоит идея кругового метода. Если теперь нетривиально оценить |S(α)| на дополнительных интервалах (см. Виноградова метод), то получится асимптотич. формула в проблеме Гольдбаха-Эйлера. См. также Круговой метод. в) Метод тригонометрических сумм. Большинство задач А. т. ч. может быть сформулировано в терминах тригонометрич. сумм - конечных сумм вида ![]() (3) где F (x1, ..., xn) - действительная функция, а x1, ..., xn пробегают множество целых чисел в количестве P. Таким образом, центр тяжести многих проблем переносится на задачу изучения таких сумм, в частности на задачу получения возможно более точной оценки модуля таких сумм. Тривиальной оценкой суммы (3) будет Р. Ставится задача получить оценку типа ![]() где 0 ≤ Δ ≤ 1 наз. понижающим множителем. Первые нетривиальные оценки тригонометрич. сумм, когда F = F(x) - многочлен, а х = 1, 2, ..., Р, получил Г. Вейль (1919), к-рый одновременно доказал критерий равнораспределенности дробных долей функции в терминах тригонометрич. сумм. Создателем метода тригонометрич. сумм является И. М. Виноградов, к-рый, используя глубокие арифметич. свойства рассматриваемых сумм, получил исключительно сильные оценки модуля широкого класса таких сумм. Это позволило ему получить фундаментальные близкие к предельно возможным результаты в целом ряде вопросов теории чисел (проблема Варинга, Гильберта-Камке проблема, Вейля суммы). Другим следствием метода Виноградова (1937) было решение ряда аддитивных проблем с п. ч. и, в частности, решение проблемы Гольдбаха-Эйлера. Основной идеей метода Виноградова является идея «сглаживания» (возведение в степень тригонометрич. суммы и сведение оценки к теореме о среднем при оценках сумм Вейля; введение двойных тригонометрич. сумм при оценках сумм с п. ч.). См. также Тригонометрических сумм метод. г) Дисперсионный метод и метод большого решета. В 1958-60 Ю. В. Линником был создан дисперсионный метод для решения целого ряда аддитивных задая теории чисел. Им были решены проблема Харди-Литлвуда, Титчмарша проблема делителей, аддитивная проблема делителей. Основным понятием метода является дисперсия для числа решений уравнения при предполагаемой асимптотике для числа решений нек-рого вспомогательного уравнения, связанного с основным (см. также Дисперсионный метод). В последнее время получены глубокие результаты при помощи метода большого решета Ю. В. Линника, к-рый был создан им в 1940 при решении проблемы о наименьшем квадратичном невычете. д) Методы в теории алгебраических и трансцендентных чисел. При доказательстве теоремы о приближении алгебраич. числа рациональной дробью, А. Туэ (см. Туэ метод) строит многочлен ![]() с целыми коэффициентами, где f1 и f2 - тоже многочлены. Допуская, что а «хорошо» приближаются дробями p1 /q1 и p2 /q2 с достаточно большим q1 и q2, полагая m ≈ ln q1 /ln q2 и доказывая, что f(x, у) при x = p1 /q1 1, у = p2 /q2 не обращается в нуль, получают противоречие. При доказательстве трансцендентности чисел А. О. Гельфонд строит функцию ![]() В предположении, что α - алгебраич. число, при помощи принципа ящиков Дирихле целые не равные нулю числа ck, e выбираются так, что f(z) и «много» ее производных имеют «много» нулей. «Большое» количество нулей позволяет получить «хорошие» оценки сверху для «большого» числа производных и точек, а отсюда, при помощи оценок снизу, получаемых из теоремы Лиувилля, следует, что f(z) и «много» ее производных имеют больше нулей, чем вначале. Повторение этого процесса приводит к тому, что либо λ - рациональное число, либо ck, l равны нулю, что противоречит их выбору. См. также Алгебраическое число, Трансцендентное число. Лит. : [1] Виноградов И. М., Избр. тр., М., 1952, [2] его же, Основы теории чисел, 7 изд., М., 1965; [3] его же. Метод тригонометрических сумм в теории чисел, М., 1971; [4] Гельфонд А. О., Трансцендентные и алгебраические числа, М., 1952; [5] Делоне Б. Н., Петербургская школа теории чисел, М. - Л., 1947; [6] Карацуба А. А., Основы аналитической теории чисел, М., 1975; [7] Линник Ю. В., Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, Л., 1961; [8] Чудаков Н. Г., Введение в теорию L - функций Дирихле, М - Л., 1947; [9] Прахар К., Распределение простых чисел, пер. с нем., М., 1967; [10] Дэвенпорт Г., Мультипликативная теория чисел, пер. с англ., М., 1971; [11] Титчмарш Е., Теория дзета-функции Римана, пер. с англ., М., 1953; [12] Xуа Ло-ген, Метод тригонометрических сумм и его применения в теории чисел, пер. с нем., М., 1964; [13] Ваker A., «Mathematika», 1967, v. 14, №1(27), p. 102-07; [14] Виноградов А. И., «Изв. АН СССР. Серия матем. », 1965, т. 29, в. 4, с. 903-34; [15] Bombieri Е., «Маthеmаtika», 1965, v. 12, № 24, p. 201-25. А. А. Карацуба. Источники:
|
![]()
|
|||
![]() |
|||||
© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник: http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека' |