АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

Расстановка ударений: АНАЛИТИ`ЧЕСКАЯ ПОВЕ`РХНОСТЬ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ абстрактная-двумерное комплексное аналитическое многообразие, т. е. четырехмерное гладкое многообразие, снабженное комплексной структурой. Хотя теория А. п. и является частью общей теории комплексных многообразий, двумерный случай выделяется особо, т. к. об А. п. известно гораздо больше, чем о n-мерных многообразиях при n ≥ 3. Кроме того, нек-рые факты специфичны только для размерности 2. Эти специфич. результаты об А. п. касаются классификации А. п., аналогичной классификации алгебраических поверхностей, что в значительной степени сводит теорию А. п. к теории алгебраич. поверхностей. Основные результаты по классификации А. п. получены К. Кодаирой [1], [2], [3], к-рый, однако, опирался на работы классиков итальянской школы алгебраич. геометрии по классификации алгебраич. поверхностей.

Все рассматриваемые в дальнейшем А. п. предполагаются компактными и связными.

Примеры. 1) Алгебраические поверхности. Пусть

f_i (x₀, ..., x_N), i = 1, 2, ..., m,

набор однородных многочленов с комплексными коэффициентами. Замкнутое подмножество комплексного проективного пространства Р^N (ℂ), выделяемое уравнениями f_i (x) = 0, будет А. п., если оно неособо, связно и имеет комплексную размерность 2. Это - основной пример А. п.

2) Комплексные торы. Пусть ℂ² - двумерное векторное пространство над полем комплексных чисел (как векторное пространство над полем действительных чисел оно изоморфно ℝ⁴) и пусть Г≅ ℤ⁴ - решетка в ℂ² . Факторпространство X = С² /Г будет А. п. Как гладкое многообразие X диффеоморфно 4-мерному тору, однако комплексная структура на X зависит от решетки Г. Комплексные торы X = ℂ² /Г играют важную роль в анализе, так как мероморфные функции на них это мероморфные функции на ℂ², к-рые периодичны с решеткой периодов Г. А. п. вида ℂ² /Г не всегда алгебраичны. Существуют даже такие решетки Г, что на соответствующем торе ℂ² /Г вообще нет мероморфных функций (кроме констант). Конкретные примеры таких торов можно найти в [5].

3) Поверхности Хопфа. Пусть Y = c² - {0}, с - положительное число, и рассматривается действие группы Z на Y

(z₁, z₂) → (c^kz₁, c^kz₂), k ∈ Z.

Группа Z действует дискретно и без неподвижных точек на Y, а факторпространство X = Y/Z диффеоморфно S¹ × S³ . Факторпространство X естественным образом является А. п., наз. поверхностью Хопфа.

Классификация аналитических поверхностей. Основным инвариантом при классификации А. п. является степень трансцендентности поля мероморфных функций ℂ (X) на А. п. X. Согласно теореме Зигеля, для любого компактного связного комплексного многообразия X поле ℂ (X) конечно порождено и его степень трансцендентности не превышает комплексной размерности для X. Таким образом, для А. п. А поле ℂ (X) может содержать две алгебраические независимые мероморфные функции, одну такую функцию или, вообще, состоять только из констант. В соответствии с этими возможностями имеют место следующие теоремы.

Для того чтобы А. п. X была алгебраич. поверхностью, необходимо и достаточно, чтобы на X существовали две алгебраически независимые мероморфные функции.

Если А. п. X обладает полем мероморфных функций степени трансцендентности 1, то X является эллиптич. поверхностью, т. е. обладает голоморфным отображением на алгебраич. кривую Y, Р: X → Y таким, что

Р*С(Y) = С(Х)

и все слои отображения Р, кроме конечного числа, являются эллиптич. кривыми (особые слои могут иметь только очень специальный вид, к-рый хорошо изучен).

Если на А. п. X не существует мероморфных функций, кроме констант, и на X нет исключительных кривых (см. Исключительное подмногообразие), то первое число Бетти b₁ для X может принимать только три значения: 4, 1 и 0. При этом, если b₁ = 4, то X является комплексным тором, а если b₁ = 0, то X обладает тривиальным канонич. расслоением. Последние А. п. наз. КЗ-поверхностями. Все они гомеоморфны между собой. Случай b₁ = 1 подробно не изучен, но известные примеры А. п. с b₁ = 1 получаются обобщением конструкции поверхностей Хопфа.

Кэлерова А. п. не всегда будет алгебраич. поверхностью. Однако это так, если квадрат ее первого Чжэня класса положителен. Каждая кэлерова А. п. с b₁ > 0 является деформацией алгебраич. поверхности.

Лит. : [1] Кодаира К., «Математика», сб. переводов, 1962, т. 6, № 6, с. 3-17; [2] Коdairа К., «Аnn. Math. », 1960, v. 71, р. 111-52; 1963, v. 77, р. 563-626; 1963, v. 78, р. 1-40; [3] его же, «Аmеr. J. Math. », 1964, v. 86, p. 751-98; 1966, v. 88, p. 682-721; 1968, v. 90, p. 55-83; 1048-66; [4] Алгебраические поверхности, M., 1965 («Труды Матем. ин-та АН СССР», 1965, т. 75); [5] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972.

Б. Б. Венков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.