АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ

Расстановка ударений: АНАЛИТИ`ЧЕСКАЯ ПОВЕ`РХНОСТЬ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ПОВЕРХНОСТЬ (в евклидовом пространстве) - произвольное двумерное аналитическое подмногообразие А в пространстве ℝⁿ, n > 2. Часто, однако, термин «А. п. » в ℝⁿ употребляется в более широком смысле как многообразие, допускающее аналитич. параметризацию. Это означает, что координаты точек х = (x₁, ..., x_n) ∈ X можно представить в виде аналитич. функций x_i = x_i (t) действительного параметра t = (t₁, ..., t_k), изменяющегося в нек-рой области Δ ⊂ ℝ^k, 1 ≤ k < n. Если при этом ранг матрицы Якоби rang ||∂x/∂t||, к-рый для аналитич. многообразия всюду в Δ максимален и равен k, то размерность А. п. X равна k.

В комплексном пространстве ℂⁿ термин «А. п. » используется также для обозначения комплексно-аналитической поверхности X в ℂⁿ, т. е. многообразия, допускающего голоморфную (комплексно-аналитическую) параметризацию. Это означает, что комплексные координаты точек z = (z₁, ..., z_n) ∈ X можно выразить в виде голоморфных функций z_i = z_i (t) параметра τ = (τ₁, ..., τ_k), изменяющегося в нек-рой области Δ ⊂ ℂ^k, 1 ≤ k < n (как правило, предполагается еще, что rang ||∂x/∂τ || ≡ k). Если Δ = ℂ^k и все функции z_i (τ) линейные, то получается комплексно-аналитич. плоскость (см. Аналитическая плоскость). При k = 1 иногда употребляется термин голоморфная кривая (комплексно-аналитическая кривая); если при этом все функции z_i (t) линейные, то говорят о комплексной прямой (в параметрич. представлении):

z_i = a_i τ + b_i, a_i, b_i ∈ C, i = 1,... n, () ≠ 0.

Лит. : [1] Шабат Б. В., Введение в комплексный анализ, ч. 1-2, 2 изд., М., 1976.

Е. Д. Соломенцев, Е. М. Чирка.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.