АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЁМКОСТЬ

Расстановка ударений: АНАЛИТИ`ЧЕСКАЯ Ё`МКОСТЬ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ЁМКОСТЬ, аналитическая мера, аналитическая мера Альфорса, - функция плоского множества, введенная Л. Альфорсом [1] и являющаяся аналогом логарифмич. емкости, приспособленным для характеризации множеств устранимых особенностей ограниченных аналитических функций. Пусть Е - замкнутое ограниченное множество на плоскости, А (Е) - множество функций, аналитических вне Е, равных нулю в бесконечно удаленной точке и ограниченных всюду вне Е константой 1, и пусть γ (Е; f) = lim z ⋅ f(z) при z → ∞. Число γ (Е) = sup | γ (Е; f)|, f ∈ A (Е), наз. аналитической емкостью множества Е. А. е. произвольного множества обычно наз. верхняя грань А. е. его замкнутых ограниченных подмножеств.

Если Е - замкнутое ограниченное множество, то для того чтобы всякая аналитическая и ограниченная вне Е функция аналитически продолжалась на множестве Е, необходимо и достаточно равенство нулю А. е. множества А (теорема Альфорса).

Существует также ряд родственных А. е. понятий, приспособленных к метрикам различных других пространств аналитич. функций (см., напр., [2] и [3]).

Понятие А. е. оказалось удачно приспособленным в нек-рых задачах теории приближения, где решение ряда основных вопросов формулируется в терминах А. е. Так [4], для того чтобы на замкнутом ограниченном плоском множестве Е всякая непрерывная функция равномерно приближалась с любой точностью рациональными функциями, необходимо и достаточно, чтобы для любого круга σ_δ радиуса δ выполнялось равенство

γ (σ_δ \E) = γ (σ_δ) = δ

Лит. : [1] Ahlfors L., «Duke. Math. J. », 1947, v. 14, p. 1-11; [2] Garabedian P., «Trans. Amer. Math. Soc. », 1950, v. 69, № 3, p. 392-415; [3] Синaнян C. O., «Докл. АН Арм. ССР», 1962, т. 35, № 3, с. 107-12; [4] Витушкин А. Г., «Успехи матем. наук», 1967, т. 22, в. 6, с. 141-99.

А. Г. Витушкин.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.