НОВОСТИ    БИБЛИОТЕКА    ЭНЦИКЛОПЕДИЯ    БИОГРАФИИ    КАРТА САЙТА    ССЫЛКИ    О ПРОЕКТЕ  

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГРУППА

Расстановка ударений: АНАЛИТИ`ЧЕСКАЯ ГРУ`ППА

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГРУППА - множество G, наделенное одновременно структурой топологической группы и структурой конечномерного аналитического многообразия (над полем k, полным относительно нек-рого нетривиального абсолютного значения) так, что отображение G × G → G, заданное правилом (х, y) → xy, является аналитическим. А. г. G всегда хаусдорфова; если k локально компактно, то G локально компактна. В случае, когда k является соответственно полем действительных, комплексных или р-адических чисел, G наз. соответственно вещественной (действительной), комплексной или р-адической А. г. Примером А. г. может служить полная линейная группа GL(n, k) векторного пространства kn над k (см. Линейная классическая группа) или, более общо, группа обратимых элементов произвольной конечномерной ассоциативной алгебры с единицей над k. Вообще, группа k-рациональных точек алгебраической группы, определенной над k, является А. г. Подгруппа в А. г. G, являющаяся подмногообразием в G, наз. аналитической подгруппой; такая подгруппа обязательно замкнута в G. Напр., ортогональная группа O(n, k) = {g ∈ GL(n, k)| t gg = 1} является аналитич. подгруппой в GL(n, k). Всякая замкнутая подгруппа вещественной или р-адической А. г. аналитична и всякий непрерывный гомоморфизм таких групп аналитичен (теоремы Картана, см. [1]).

А. г. иногда наз. группой Ли (см. [1]), однако обычно группа Ли понимается более узко как вещественная А. г. (см. [2], [3] и Ли группа). Комплексная же и р-адическая А. г. наз. соответственно комплексной и р-адической группами Ли.

Сформулированные выше теоремы Картана означают, что категория вещественных или р-адических А. г. будет полной подкатегорией в категории локально компактных топологич. групп. Вопрос о том, насколько эти категории отличаются, т. е. когда локально компактная группа G является вещественной или р-адической А. г., допускает исчерпывающий ответ: в действительном случае в G должна существовать окрестность единицы, не содержащая нетривиальных подгрупп (см. [5]-[9]); в р-адическом случае в G должна содержаться конечно порожденная открытая подгруппа U, являющаяся про - р-группой, коммутант к-рой лежит в множестве Uр2 р2 - х степеней элементов из U (см. [10]). В частности, любая топологич. группа, имеющая окрестность единицы, гомеоморфную евклидову пространству (так наз. локально евклидова топологическая группа, см. [4]), есть вещественная А. г. Иначе говоря, из существования в топологич. группе непрерывных локальных координат вытекает существование аналитических локальных координат; этот результат составляет положительное решение пятой проблемы Гильберта (см. [5], [11]).

В случае нулевой характеристики поля к важнейшим методом исследования А. г. является изучение их алгебр Ли (см. Ли алгебра аналитической группы).

О бесконечномерных А. Г. см. Ли банахова группа.

Лит. : [1] Серр Ж.-П., Алгебры Ли и группы Ли, пер. с англ. и франц., М., 1969; [2] Понтрягин Л. С. Непрерывные группы, 3 изд., М., 1973; [3] Шевалле К., Теория групп Ли, т. 1, пер. с англ., М., 1948; [4] Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства, пер. с англ., М., 1964; [5] Проблемы Гильберта, М., 1969, с. 101-15; [6] Glеasоn А., «Аnn. Math. », 1952, v. 56, № 2, p. 193-212; [7] Моntgоmеrу D., Zippin L., «Аnn. Math. », 1952, v. 56, № 2, p. 213-41; [8] Yamabe H., «Аnn. Math. », 1953, v. 58, № 1, p. 48-54; [9] eго же, там же, 1953, v. 58, № 2, р. 351-65; [10] Lazard М., «Publ. Math. IHES», 1965, t. 26, p. 389-594; [11] Капланский И., Алгебры Ли и локально компактные группы, пер. с англ., М., 1974.

В. Л. Попов.


Источники:

  1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.











© MATHEMLIB.RU, 2001-2021
При копировании материалов проекта обязательно ставить ссылку на страницу источник:
http://mathemlib.ru/ 'Математическая библиотека'
Рейтинг@Mail.ru