АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Расстановка ударений: АНАЛИТИ`ЧЕСКАЯ ГЕОМЕ`ТРИЯ

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ - раздел геометрии. Основными понятиями А. г. являются простейшие геометрич. образы (точки, прямые, плоскости, кривые и поверхности 2-го порядка). Основными средствами исследования в А. г. служат метод координат и методы элементарной алгебры. Возникновение метода координат тесно связано с бурным развитием астрономии, механики и техники в 17 в. Отчетливое и исчерпывающее изложение этого метода и основ А. г. было сделано Р. Декартом (В. Dercartes) в его «Геометрии» (1637). Основные идеи метода были известны также его современнику П. Ферма (P. Fermat). Дальнейшая разработка А. г. связана с трудами Г. Лейбница (G. Leibniz), И. Ньютона (I. Newton) и особенно Л. Эйлера (L. Euler). Средствами А. г. пользовался Ж. Лагранж (J. Lagrange) при построении аналитич. механики, Г. Монж (G. Monge) в дифференциальной геометрии. Ныне А. г. не имеет самостоятельного значения как наука, однако ее методы широко применяются в различных разделах математики, механики, физики и др. наук.

Сущность метода координат заключается в следующем. Рассмотрим, напр., на плоскости π две взаимно перпендикулярные прямые Ох и Оу. Эти прямые с указанным на них направлением, началом координат О и выбранной масштабной единицей е образуют так наз. декартову прямоугольную систему координат Оху на плоскости. Прямые Ох и Оу наз. соответственно осью абсцисс и осью ординат. Положение любой точки М на плоскости по отношению к этой системе Оху можно определить следующим образом. Пусть М_x и M_y - проекции М на О_x и О_y, а числа х и у - величины отрезков ОМ_x и ОМ_y (величина х отрезка ОМ_x, напр., равна длине этого отрезка, взятой со знаком плюс, если направление от О к М_x совпадает с направлением на прямой Ох, и со знаком минус - в противоположном случае). Числа х (абсцисса) и у (ордината) наз. декартовыми прямоугольными координатами точки М в системе Оху. Для обозначения точки М с абсциссой х и ординатой у пользуются символом М(х, у). Ясно, что координаты точки М определяют ее положение относительно системы Оху.

Пусть на плоскости π с данной декартовой прямоугольной системой координат Оху задана нек-рая линия L. Используя понятие координат точек, можно ввести понятие уравнения данной линии L относительно системы Оху как соотношения вида F (х, y) = 0, к-рому удовлетворяют координаты хну любой точки М, расположенной на L, и не удовлетворяют координаты каждой точки, не лежащей на L.

Основная идея метода координат на плоскости состоит в том, что геометрич. свойства линии L выясняются путем изучения аналитич. и алгебраич. средствами свойств уравнения F(x, у) = 0 этой линии. Напр., геометрич. вопрос о числе точек пересечения прямой и окружности сводится к аналитич. вопросу о числе решений алгебраич. системы уравнений прямой и окружности.

В А. г. на плоскости подробно изучаются геометрич. свойства эллипса, гиперболы и параболы, представляющих собой линии пересечения кругового конуса с плоскостями, не проходящими через его вершину (см. Конические сечения).

В А. г. на плоскости систематически исследуются так наз. алгебраические линии 1-го и 2-го порядков; эти линии в декартовых прямоугольных координатах определяются соответственно алгебраич. уравнениями 1-й и 2-й степеней. Линии 1-го порядка суть прямые и обратно, каждая прямая определяется алгебраич. уравнением 1-й степени Ах + Ву + C = 0. Линии 2-го порядка определяются уравнениями вида Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0. Основной метод исследования и классификации этих линий заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в к-рой уравнение линии имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. См. Линии второго порядка.

В А. г. в пространстве декартовы прямоугольные координаты х, у и z (абсцисса, ордината и аппликата) точки М вводятся в полной аналогии с плоским случаем. Каждой поверхности S в пространстве можно сопоставить ее уравнение F(x, у, z) = 0 относительно системы координат Oxyz. При этом геометрич. свойства поверхности S выясняются путем изучения аналитич. и алгебраич. средствами свойств уравнения этой поверхности. Линию L в пространстве задают как линию пересечения двух поверхностей S₁ и S₂ . Если F₁ (x, у, z) = 0 и F₂ (x, у, z) = 0 - уравнения S₁ и S₂, то пара этих уравнений, рассматриваемая совместно, представляет собой уравнение линии L. Напр., прямую L в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей. В А. г. в пространстве систематически исследуются так наз. алгебраические поверхности 1-го и 2-го порядков. Выясняется, что алгебраич. поверхностями 1-го порядка являются лишь плоскости. Поверхности 2-го порядка определяются уравнениями вида:

Ax² + By² + Cz² + Dxy + Eyz + Fzx + Gx +Hy +Mz + N = 0.

Основной метод исследования и классификации этих поверхностей заключается в подборе такой декартовой прямоугольной системы координат, в к-рой уравнение поверхности имеет наиболее простой вид, и последующем исследовании этого простого уравнения. См. Поверхности второго порядка.

Лит : [1] Декарт Р., Геометрия, пер. с франц. и латин., М. - Л., 1938; [2] Вилейтнер Г., История математики от Декарта до середины XIX столетия, пер. с нем., 2 изд., М., 1966; [3] Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии 9 изд., М., 1967; [4] Ильин В. А., Позняк Э. Г., Аналитическая геометрия, М., 1968; [5] Александров П. С., Лекции по аналитической геометрии..., М., 1968; [6] Постников М. М., Аналитическая геометрия, М., 1973; [7] Бахвалов С. В., Моденов П. С. Пархоменко А. С., Сборник задач по аналитической геометрии, 3 изд., М., 1964.

Э. Г. Позняк.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.