АЛЬТЕРНИРУЮЩИЕ УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ

Расстановка ударений: АЛЬТЕРНИ`РУЮЩИЕ У`ЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕ`НИЯ

АЛЬТЕРНИРУЮЩИЕ УЗЛЫ И ЗАЦЕПЛЕНИЯ - узлы и зацепления, имеющие альтернирующую диаграмму (см. Узлов и зацеплений диаграммы), т. е. такую проекцию в общее положение на плоскость, при к-рой при обходе каждой компоненты проходы сверху и снизу двойных точек чередуются. Каждую диаграмму можно превратить в альтернирующую, изменив в нек-рых двойных точках проходы сверху и снизу.

Пусть F - поверхность Зейферта. В отличие от общего случая, неравенство d ≤ 2h + μ - 1, где d - степень многочлена Александера (см. Александера инварианты), h - род поверхности Зейферта и μ - число компонент зацепления k, становится для А. у. и з. равенством. Поэтому род А. з. может быть вычислен по любой его альтернирующей диаграмме, и поверхность Зейферта оказывается поверхностью минимального рода. Это показывает также, что если диаграмма нормирована, т. е. на плоскости проекции нет простого замкнутого контура, который пересекает диаграмму в одной двойной точке, то зацепление тривиально (см. Узлов теория) в том и только том случае, когда диаграмма не имеет двойных точек. Если такой контур есть, то вращением на 180° части диаграммы, лежащей внутри него, можно уменьшить число двойных точек, сохраняя диаграмму альтернированной. Это дает алгоритм для решения вопроса о тривиальности А. у. и з. Кроме того, если диаграмма связана, то зацепление не распадается, так как d ≥ 1, а приведенный полином Александера распадающегося зацепления равен нулю. Матрица Александера вычисляется как матрица инциденций нек-рого графа, откуда выводится (см. [1], [2]), что Δ (t) - альтернирующий полином, т. е. его коэффициенты не нули и их знаки чередуются. Если Δ (0) = 1, то А. у. и з. являются Нейвирта узлами и зацеплениями. Для А. у. и з. число двойных точек нормированной диаграммы не больше, чем его детерминант. Группы А. у. и з. (см. Узлов и зацеплений группы) представляются в виде свободного произведения с отождествлением двух свободных групп нек-рого ранга q по подгруппе ранга 2q - 1. Это представление получается с помощью теоремы Ван Кампена, если пространство зацепления к разбить границей регулярной окрестности относительно к поверхности Зейферта, построенной по альтернирующей диаграмме. Все узлы стандартной таблицы (см. Узлов таблица) с неальтернирующими диаграммами являются неальтернирующими узлами. Не альтернирует большинство параллельных узлов, обмоток и т. п.

Лит. : [1] Murasugi К., «Osaka J. Math. », 1958, v. 10, P. 181-89; [2] Crowell R. H., «Ann. Math. », 1959, v. 69, p. 258-75; [3] Murasugi K., «Osaka J. Math. », 1960. v. 12, p. 277-303.

А. В. Чернавский.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.