АЛЬТЕРНИРОВАНИЕ

Расстановка ударений: АЛЬТЕРНИ`РОВАНИЕ

АЛЬТЕРНИРОВАНИЕ, кососимметрирование, антисимметрирование, альтернация, - одна из операций тензорной алгебры, при помощи к-рой по данному тензору строится кососимметрический (по группе индексов) тензор. А. всегда производится по нескольким верхним или нижним индексам. Тензор А с координатами {а, i₁ ≤ i_ν, j_μ ≤ n} является результатом А. тензора Т с координатами {t, 1 ≤ i_ν, j_μ ≤ n} по верхним индексам, напр., по группе индексов I = (i₁, i₂, ..., i_m), если

(*)

Здесь суммирование производится по всем m! перестановкам α = (α₁, α₂, ..., α_m) группы индексов I, а число σ (1, α) равно + 1 или - 1, если соответствующая перестановка четна или нечетна. Аналогично определяется А. по группе нижних индексов.

А. по группе индексов обозначается взятием этих индексов в квадратные скобки. Посторонние индексы, попавшие внутрь квадратных скобок, отделяются вертикальными черточками.

Напр.,

Последовательное А. по группам индексов I₁ и I₂, I₁ ⊂ I₂, совпадает с А. по группе индексов I₂ :

Если n - размерность векторного пространства, в к-ром определен тензор, то А. по группе индексов, количество к-рых больше n, всегда дает нулевой тензор. А. по нек-рой группе индексов тензора, симметричного (см. Симметрирование) по этой группе, также дает нулевой тензор. Тензор, не изменяющийся при А. по нек-рой группе индексов I, наз. кососимметрическим, или альтернированным, по группе индексов I. Перестановка любой пары таких индексов ведет к изменению знака у координаты тензора.

Операция А. тензора, наряду с операцией симметрирования, применяется для разложения тензора на более простые тензоры.

Произведение двух тензоров с последующей А. по всем индексам наз. альтернированным произведением (внешним произведением).

А. применяется также для образования знакопеременных (альтернированных) сумм вида (*) с многоиндексными слагаемыми. Напр., вычисление определителя (с коммутирующими при умножении элементами) производится по следующим формулам:

Лит. : [1] Широков П. А., Тензорное исчисление, 2 изд., Казань, 1961; [2] Беклемишев Д. В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М., 1971; [3] Схоутен Я. А., Тензорный анализ для физиков, пер. с англ., М., 1965; [4] Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р., Линейная алгебра и многомерная геометрия, М., 1970.

Л. П. Купцов.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.