АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ

Расстановка ударений: АЛЬТЕРНАТИ`ВНЫЕ КО`ЛЬЦА И А`ЛГЕБРЫ

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ КОЛЬЦА И АЛГЕБРЫ. Альтернативным кольцом (А. к.) наз. кольцо, в к-ром каждые два элемента порождают ассоциативное подкольцо; альтернативной алгеброй (А. а.) наз. линейная алгебра, являющаяся А. к. Согласно теореме Артина класс всех А. к. задается системой тождеств:

(xy)y = x(yy) - правая альтернативность, (xx)y = x(xy) - левая альтернативность,

Таким образом, все А. к. составляют многообразие. Термин «А. к. » оправдан тем, что в любом таком кольце ассоциатор (дефект ассоциативности)

(х, у, z) = (xy)z - x(yz)

является кососимметрической (альтернативной) функцией своих аргументов.

Первым примером А. к. явились Кэли числа, дающие пример альтернативного тела, т. е. А. к. с единицей, в к-ром однознаяно разрешимы уравнения ах = b и уа = b для всех b и всех а ≠ 0. Альтернативные тела играют существенную роль в теории проективных плоскостей, поскольку проективная плоскость муфангова (т. е. плоскость трансляций относительно любой прямой) тогда и только тогда, когда любое координатизирующее ее тернарное кольцо является альтернативным телом. Если в кольце R с единицей каждый элемент обратим, и для любых a, b ∈ R выполняется тождество

a^-1 (ab) = b

(или тождество (ba)a^{- 1} = b), то R является альтернативным телом. Всякое альтернативное тело либо ассоциативно, либо имеет строение Кэли-Диксона алгебры над своим центром.

Всякое простое А. к. также либо ассоциативно, либо является алгеброй Кэли-Диксона над своим центром (последняя в этом случае не обязана уже быть телом). Алгебрами Кэли-Диксона исчерпываются за пределами ассоциативных и все примитивные А. к. Всякое первичное А. к. R, если 3R ≠ 0, либо ассоциативно, либо является кольцом Кэли-Диксона.

Многие свойства А. к. весьма сильно отличаются от свойств ассоциативного кольца в аналогичных ситуациях. Так, если R есть А. к., а А и В - его правые идеалы, то их произведение АВ уже не обязано быть правым идеалом, даже если А - двусторонний идеал в R; но произведение двусторонних идеалов А. к. является его двусторонним идеалом. Различие в случае ассоциативных колец и А. к. сильно проявляется и в том, что в А. к. существуют различные нильпотентности, поскольку произведение элементов, при одной расстановке скобок равное 0, при другой - может быть отлично от 0. Обычно в А. к. используются следующие нильпотентности: разрешимость (кольцо R наз. разрешимым индекса m, если существует такое число m, что R_m = 0, где R_{i + 1} = R_i R_i, R₁ = R), правая нильпотентность (существует такое число n, что R⁽ⁿ⁾ = 0, где R^{(i + 1)} = R⁽ⁱ⁾ R⁽ⁱ⁾, R⁽¹⁾ = R) и нильпотентность (существует такое число k, что R^k = 0, т. е. произведение любых k элементов R равно 0 при любой расстановке скобок). Имеется А. к. разрешимое индекса 3, но не нильпотентное. Правая нильпотентность в А. к. эквивалентна нильпотентности (А. к., правонильпотентное индекса n, нильпотентно индекса ≤ (n + 1)²). Локально, т. е. на конечно порожденных кольцах, все нильпотентности эквивалентны. Теория, устанавливающая достаточные признаки локальной нильпотентности А. к., вполне параллельна соответствующей теории для ассоциативных колец. Это вытекает из следующего факта: пусть R есть А. к., в к-ром можно выбрать такую систему S порождающих, что любые два элемента из S порождают нилькольцо; пусть, далее, все ассоциативные гомоморфные образы R локально нильпотентны, тогда R локально нильпотентно. Поэтому если R есть А. к. с тождеством хⁿ = 0, то R локально нильпотентно; если R есть А. а. с тождеством, к-рое не является следствием ассоциативности, и каждый элемент R есть сумма конечного числа нильэлементов, то алгебра R локально нильпотентна. Если речь идет не о локальной, а о глобальной нильпотентности, то ситуация в А. к. отличается от ассоциативной. Так, уже А. к. R с тождеством х³ = 0 не обязано быть нильпотентным (даже если его аддитивная группа без кручения). Однако А. к. с тождеством хⁿ = 0 и без элементов порядка k, 0 < k ≤ n, в аддитивной группе разрешимо индекса n(n + 1)/2.

Если R - алгебраич. А. а. с тождественным соотношением, не являющимся следствием ассоциативности (или степени алгебраичности элементов R ограничены в совокупности), то R локально конечномерна.

В А. к. имеется аналог Джекобсона радикала: во всяком А. к. R существует максимальный квазирегулярный идеал J(R), равный пересечению всех модулярных максимальных правых идеалов. Факторкольцо R/J(R) является J - полупростым, т. е. J(R/J(R)) = 0; если I есть идеал R, то J(I) = J (R) ∩ I, всякое J - полупростое кольцо аппроксимируется примитивными А. к. (т. е. примитивными ассоциативными кольцами и алгебрами Кэли-Диксона). Имеются аналоги и всех других ассоциативных радикалов (нижнего нильрадикала, локально нильпотентного радикала и т. д.), к-рые обладают теми же основными свойствами, что и в ассоциативных кольцах.

В артиновом А. к. (то есть в А. к., удовлетворяющем условию минимальности для правых идеалов) R радикал J(R) нильпотентен, нильпотентен и всякий нильподгруппоид мультипликативного группоида R. Кольцо R является артиновым А. к. без нильпотентных идеалов тогда и только тогда, когда R раскладывается в прямую сумму конечного числа полных матричных алгебр (над нек-рыми ассоциативными телами) и алгебр Кэли-Диксона; такое разложение для каждого R единственно с точностью до перенумерации слагаемых. Если R есть А. к., I - его идеал и R удовлетворяет условию минимальности для двусторонних идеалов, содержащихся в I, то I нильпотентен тогда и только тогда, когда для любого гомоморфизма φ кольца R в I_φ нет идеалов кольца R_φ, которые являются простыми кольцами.

В А. к. R различаются ассоциативный центр

N(R) = {n ∈ R | (n, a, b) = 0 для всех a, b ∈ R},

коммутативный центр

C(R) = {c ∈ R | [c, a] = ca - ac = 0 для всех a ∈ R},

и центр

Z(R) = N(R) ∩ C(R).

Если в аддитивной группе R нет элементов порядка 3, то С(R) ⊆ N(R). Однако над полем характеристики 3 существуют коммутативные неассоциативные А. а. В первичном А. к. R всегда C(R) ⊇ N(R). В любом А. к. R всегда [N(R), R] ⊆ N(R). Пусть в А. к. R нет нетривиальных идеалов, тогда: 1) либо 3R = 0, либо N(R) ≠ 0. 2) либо 3R ⊆ N(R), либо Z{R) ≠ 0, 3) если А - правый идеал R, то N(A) = A ∩ N(R) и Z(A) = A ∩ Z(R). В то же время над любым полем F можно построить такое А. к. K с тривиальными идеалами, что N(K) = С(K) = 0, но K², являясь идеалом K, будет ассоциативно коммутативным кольцом, т. е.

N(K²) = C(K²) = K² ≠ 0.

Из тождеств, выполняющихся в А. к., наиболее известны следующие:

[(xy)z]y = x[(yz)y], [(xy)x]z = x[y(xz)], (xy)(zx) = [x(yz)]x

(тождества Муфанг);

(xy, z, t) - y(x, z, t) - (y, z, t)x = ([x, y], z, t) + (x, y, [z, t]), ([x, y]⁴, z, t) = [x, y]([x, y]², z, t) = ([x, y]², z, t) [x, y] = 0.

В А. к. с 3 образующими выполняется, кроме того, тождество:

([x, y] [z, t] + [z, t] [x, y], u, v) = 0. (*)

В А. к. с более чем 3 образующими тождество (*), вообще говоря, не выполняется, более того, в этих А. к., вообще говоря, ([х, у]², z, t) ≠ 0. Во всяком А. к. без локально нильпотентных идеалов тождество (*) выполнено, т. к. такое А. к. аппроксимируется первичными ассоциативными кольцами и кольцами Кэли-Диксона.

Во всяком свободном А. к. R имеется ненулевой идеал U(R), содержащийся в ассоциативном центре N(R). Свободное А. к. с 3 или более образующими не только содержит делители нуля, но и не является первичным. Свободное А. к. с 4 или более образующими содержит даже тривиальные идеалы и поэтому не аппроксимируется первичными кольцами.

Лит. : [1] Дорофеев Г. В., «Успехи матем. наук», 1960, т. 15, № 3, с. 147-50; [2] Жевлаков К. А., «Алгебра и логика», 1966, т. 5, № 3, с. 11-36; [3] его же, там же, 1969, т. 8, № 4, с. 425-39; [4] Ширшов А. И., «Матем. сб. », 1957, т. 41, с. 381-94; [5] Kleinfeld Е., «Аnn. Math. », 1953, v. 58, № 3, р. 544-547; [6] его же, там же, 1957, v. 66, № 3, р. 395-99; [7] Скорняков Л. A., «Rend. mat. е applic. », 1965, v. 24, № 3-4, р. 360-72; [8] Slatеr М., «J. Algebra», 1968, v. 8, №1, p. 60-76; [9] Доpофeeв Г. В., «Сиб. матем. ж. », 1963, т. 4, № 5, с. 1029-48.

К. А. Жевлаков.

Источники:

1. Математическая Энциклопедия. Т. 1 (А - Г). Ред. коллегия: И. М. Виноградов (глав ред) [и др.] - М., «Советская Энциклопедия», 1977, 1152 стб. с илл.